觀(guān)察下面一列數(shù)，按某種規(guī)律在橫線(xiàn)上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：…，則第n個(gè)數(shù)為(    )

探索n×n的正方形釘子板上（n是釘子板每邊上的釘子數(shù)），連接任意兩個(gè)釘子所得到的不同長(zhǎng)度值的線(xiàn)段種數(shù)：
當(dāng)n=2時(shí)，釘子板上所連不同線(xiàn)段的長(zhǎng)度值只有1與，所以不同長(zhǎng)度值的線(xiàn)段只有2種，若用S表示不同長(zhǎng)度值的線(xiàn)段種數(shù)，則S=2；當(dāng)n=3時(shí)，釘子板上所連不同線(xiàn)段的長(zhǎng)度值只有1，，2，，2五種，比n=2時(shí)增加了3種，即S=2+3=5．

讓我們輕松一下，做一個(gè)數(shù)字游戲：第一步：取一個(gè)自然數(shù)n₁=5 ，計(jì)算n₁²+1 得a₁；  第二步：算出a₁的各位數(shù)字之和得n₂，計(jì)算n₂²+1 得a₂；第三步：算出a₂的各位數(shù)字之和得n₃，再計(jì)算n₃²+1 得a₃；…依此類(lèi)推，則a₂₀₁₀=                 ．

劉謙的魔術(shù)表演風(fēng)靡全國(guó)，小明也學(xué)起了劉謙發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì) (a，b) 進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)：a² +b-1，例如把 (3，-2 ) 放入其中，就會(huì)得到3² +（-2）-1=6．現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì) (-1，3)放入其中，得到實(shí)數(shù)m，再將實(shí)數(shù)對(duì) (m，-1) 放入其中后，得到實(shí)數(shù)是（        ）。

數(shù)學(xué)的美無(wú)處不在，數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低，取決于弦的長(zhǎng)度，繃得一樣緊的幾根弦，如果長(zhǎng)度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧，例如，三根弦長(zhǎng)度之比是15∶12∶10，把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出很調(diào)和的樂(lè)聲do、ｍi、so，研究15、12、10這三個(gè)數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)：，我們稱(chēng)15、12、10這三個(gè)數(shù)為一組調(diào)和數(shù)，現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：x、5、3（x>5），則x的值是（    ）。

請(qǐng)你任選一個(gè)自然數(shù)（如數(shù)37658或497645），將這個(gè)數(shù)里的每一個(gè)數(shù)字平方后相加（從左到右依次進(jìn)行），得到一個(gè)新的數(shù)，再將得到的這個(gè)數(shù)中的每個(gè)數(shù)字平方后相加，一直如此進(jìn)行計(jì)算，只要你有耐心，總會(huì)得到一個(gè)美妙的規(guī)律．要求：
（1）寫(xiě)出主要探求過(guò)程；
（2）得出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．

已知1+3=4=2²，1+3+5=9=3²，1+3+5+7=16=4²，1+3+5+7+9=25=5²，…，根據(jù)前面各式的規(guī)律可猜測(cè)：1+3+5+7+…+（2n+1）= _________ （其中n為自然數(shù)）．

觀(guān)察下列算式：3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，3⁶=729，3⁷=2187，3⁸=6561，_…根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為3²⁰⁰⁸的末位數(shù)字是（    ）．

讓我們輕松一下，做一個(gè)數(shù)字游戲：
第一步：取一個(gè)自然數(shù)n=5 ，計(jì)算n+1得a=（    ）；
第二步：算出a的各位數(shù)字之和得n，計(jì)算n+1得a=（    ）：
第三步：算出a的各位數(shù)字之和得n，再計(jì)算n＋1得a=（    ）；      
第四步：算出a的各位數(shù)字之和得n⁴，再計(jì)算n₄²＋1得a=（    ）…………，
則a₂₀₁₀=（    ）．

計(jì)算：
（1）（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）= _________ ，
…
猜想：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）= _________ ；
（2）根據(jù)以上結(jié)果，試寫(xiě)出下列各式的結(jié)果．
（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）= _________ ；
（3）由以上情形，你能求出下面的式子的結(jié)果嗎？（x²⁰-1）÷（x-1）= _________ 。
若能求，直接寫(xiě)出結(jié)果；若不能求，請(qǐng)說(shuō)明理由。