如圖所示，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點(diǎn)，過(guò)D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連結(jié)BE₁，交CD₁于D₂；過(guò)D₂ 作D₂E₂⊥AC于E₂，連結(jié)BE₂，交CD，于D₃；過(guò)D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁， △BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…，S_n，則S_n=____ S_△ABC（用含n的代數(shù)式表示）。

觀察下列計(jì)算：

……從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算：
=（    ）。

觀察下列各式：=2，，......，請(qǐng)你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n（n≥1）的等式表示出來(lái)（    ）。

觀察下面幾組數(shù)，它們具有共同的特點(diǎn)：1，3，5，7，9，11，13，15，……；2，5，8，11，14，17，20，23，……；7，13，19，25，31，37，43，49，……；現(xiàn)在有上述特點(diǎn)的一組數(shù)，第一個(gè)數(shù)是3，第三個(gè)數(shù)是11，則其第n個(gè)數(shù)為

如圖所示，將邊長(zhǎng)為（n=1，2，3，…）的正方形紙片從左到右順次擺放，其對(duì)應(yīng)的正方形的中心依次為A₁，A₂，A₃，…，①若擺放前6個(gè)正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）長(zhǎng)度之和為（    ）；②若擺放前n（n為大于1的正整數(shù)）個(gè)正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）長(zhǎng)度之和為（    ）。

對(duì)于點(diǎn)O、M，點(diǎn)M沿MO的方向運(yùn)動(dòng)到O左轉(zhuǎn)彎繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到N，使OM =ON，且OM⊥ON，這一過(guò)程稱(chēng)為M點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)完成一 次“左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)”，正方形ABCD和點(diǎn)P，P點(diǎn)關(guān)于A左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到P₁，P₁關(guān)于B左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到P₂，P₂關(guān)于C左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到P₃，P₃關(guān)于D左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到P₄，P₄關(guān)于A左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到P₅……
（1）請(qǐng)你在圖中用直尺和圓規(guī)確定點(diǎn)P₁的位置；
（2）以D為原點(diǎn)、直線AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，并且已知點(diǎn)B 在第二象限，A、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（O，4）、（1，1），請(qǐng)你推斷： P₂₀₀₈、P₂₀₀₉、P₂₀₁₀三點(diǎn)的坐標(biāo)。

閱讀下列材料：
小貝遇到一個(gè)有趣的問(wèn)題：在矩形ABCD 中，AD=8cm，AB=6cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P按下列方式在矩形內(nèi)運(yùn)動(dòng)：它從A點(diǎn)出發(fā)，沿著與AB 邊夾角為45°的方向做直線運(yùn)動(dòng)，每次碰到矩形的一邊，就會(huì)改變運(yùn)動(dòng)方向，沿著與這條邊夾角為45 °的方向做直線運(yùn)動(dòng)，并且它一直按照這種方式不停地運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)P點(diǎn)碰到BC邊時(shí)，沿著與BC邊夾角為45 °的方向做直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)碰到CD邊時(shí)，再沿著與CD邊夾角為45°的方向做直線運(yùn)動(dòng)……如圖（1）所示問(wèn)P點(diǎn)第一次與D點(diǎn)重合前與邊相碰幾次．P點(diǎn)第一次與D點(diǎn)重合時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)是多少。

一組按規(guī)律排列的整數(shù)5，7，11，19，…，第6個(gè)整數(shù)為（    ），根據(jù)上述規(guī)律，第n個(gè)整數(shù)為（    ）（n為正整數(shù)）。

我們知道，投擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是；投擲兩枚均勻的硬幣，同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上的概率是；投擲三枚均勻的硬幣，同時(shí)出現(xiàn)三個(gè)正面朝上的概率是，那么投擲n枚均勻硬幣，同時(shí)出現(xiàn)n個(gè)正面朝上的概率是（    ）。

如圖，將邊長(zhǎng)為（n=1，2，3，…）的正方形紙片從左到右順次擺放，其對(duì)應(yīng)的正方形的中心依次為A₁，A₂，A₃，…。
①若擺放前6個(gè)正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為（    ）；
②若擺放前n（n為大于1的正整數(shù)）個(gè)正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為（    ）。