Question

3．地球上的能量，從源頭上說來自太陽傳到地球表面的輻射．假定不計大氣對太陽輻射的吸收，太陽到達地球表面的輻射一部分被地球表面反射到太空，另一部分被地球吸收．被吸收的部分最終轉換成為地球熱輻射（紅外波段的電磁波）．熱輻射在向外傳播過程中，其中一部分會被溫室氣體反射回地面，地球以此方式保持了總能量平衡，能量關系如圖所示．

作為一個簡單的理想模型，假定地球表面的溫度處處相同，且太陽和地球的輻射都遵從斯忒蕃一玻爾茲曼定律：單位面積的輻射功率J與表面的熱力學溫度T的四次方成正比，即 J=σT⁴，其中σ是一個常量．已知太陽表面溫度T_s=5.78×10³K，太陽半徑R_s=6.69×10⁵km，地球到太陽中心的平均距離r．假設地球表面對太陽輻射的平均反射率α；溫室氣體在大氣層中集中形成一個均勻的薄層，并設它對熱輻射能量的反射率為β．
問：當考慮了溫室氣體對熱輻射的反射作用后，平衡時，地球表面的溫度是多少？
（提示：球的表面積公式S=4πR²，R為球的半徑）

Answer 1

分析 根據題意分別求出太陽輻射總功率、地球接收到的太陽輻射功率、經地球反射的太陽輻射功率、地球吸收了太陽輻射最終轉化為地球的熱輻射功率、溫室氣體對地球熱輻射的反射功率，再根據能量守恒定律列出等式，解出地球表面的溫度．

解答 解：令地球半徑為R₀，地球表面溫度T_s，太陽輻射總功率為P_s，地球接收到的太陽輻射功率P，地球的熱輻射功率P₀，由題意得：
太陽輻射總功率為：P_s=4πR_s²σT_s⁴     …①
地球接收到的太陽輻射功率為：P=$\frac{{P}_{s}}{4π{r}^{2}}$πR₀²   …②
經地球反射的太陽輻射功率為：αP   …③
地球吸收了太陽輻射最終轉化為地球的熱輻射功率為：
P₀=P_s=4πR₀²σT₀⁴         …④
溫室氣體對地球熱輻射的反射功率為：βP₀   …⑤
由能量守恒，可得：P+βP₀=αP+P₀     …⑥
將①②③④⑤式代入⑥式，得：
T₀=$\root{4}{\frac{（1-α）{R}_{s}^{2}}{4（1-β）{r}^{2}}}$T_s．
答：地球表面的溫度是$\root{4}{\frac{（1-α）{R}_{s}^{2}}{4（1-β）{r}^{2}}}$T_s．

點評 本題關鍵是建立物理模型，根據能量守恒定律列式，要用到題目提供的公式J=σT⁴，難度很大，好像超出了初中的范圍．