Question

如圖所示，輕質(zhì)杠桿AD用兩根軟繩懸掛于天花板上，兩繩分別系在杠桿上的B、C兩點(diǎn)．已知杠桿的長(zhǎng)度為0.8m，BC間的距離為0.2m，CD間的距離為0.2m．用細(xì)繩將滑輪組固定在杠桿的A端，物體E（其質(zhì)量可變）掛在動(dòng)滑輪的掛鉤上，每個(gè)滑輪重均為60N．物體H通過(guò)細(xì)繩掛在杠桿的D端，其質(zhì)量始終保持不變．為使杠桿AD保持水平平衡，滑輪組所能提升重物E的最大質(zhì)量m₁與最小質(zhì)量m₂之比為4：1．杠桿、細(xì)繩的質(zhì)量及一切摩擦均可忽略不計(jì)，取g=10N/kg．求：
（1）滑輪組對(duì)杠桿A端的最大拉力F_A1與最小拉力F_A2之比；
（2）重物E的最大質(zhì)量m₁；
（3）滑輪組的最小機(jī)械效率．（百分號(hào)前保留整數(shù)）

Answer 1

分析：（1）以B點(diǎn)為支點(diǎn)時(shí)，滑輪組對(duì)杠桿A端有最大拉力；以C點(diǎn)為支點(diǎn)時(shí)，滑輪組對(duì)杠桿A端有最小拉力，已知AB、AC、BD的長(zhǎng)度，根據(jù)杠桿的平衡條件可求滑輪組對(duì)杠桿A端的最大拉力F_A1與最小拉力F_A2之比；
（2）以定滑輪為研究對(duì)象，受力分析；以?xún)蓚�(gè)動(dòng)滑輪和物體E整體為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，得出方程，代入數(shù)據(jù)即可解答；
（3）根據(jù)公式η=

W有用

W總

=

Gh

(G+G動(dòng))h

=

G

(G+G動(dòng))

可知，提升物體的重力越大，滑輪組的機(jī)械效率越高，提升物體的重力越小，滑輪組的機(jī)械效率越低．

解答：解：（1）以B點(diǎn)為支點(diǎn)時(shí)，滑輪組對(duì)杠桿A端有最大拉力F_A1；以C點(diǎn)為支點(diǎn)時(shí)，滑輪組對(duì)杠桿A端有最小拉力F_A2；
由圖中距離關(guān)系可知：AB=0.4m，AC=0.6m，BD=0.4m
根據(jù)杠桿平衡條件：
    F_A1×AB=G_H×BD；①
    F_A2×AC=G_H×CD；②
①：②得出：F_A1：F_A2=3：1；
（2）以定滑輪為研究對(duì)象，滑輪組對(duì)杠桿A端的最大拉力F_A1與等于定滑輪的重力與3段繩子所產(chǎn)生的拉力3F₁之和； 即F_A1=3F₁+G_定 ；①
最小拉力F_A2等于定滑輪的重力與3段繩子所產(chǎn)生的拉力3F₂之和；  即F_A2=3F₂+G_定；②
以?xún)蓚�(gè)動(dòng)滑輪和物體E整體為研究對(duì)象，受力分析；物體的最大重力為G₁；得到方程4F₁=G₁+2G_動(dòng)；整理可得
GG₁=4F₁-2G_動(dòng)；③
物體的最小重力為G₂；得到方程4F₂=G₂+2G_動(dòng)；整理可得G₂=4F₂-2G_動(dòng)；④
因?yàn)镕_A1：F_A2=3：1=（3F₁+G_定）：（3F₂+G_定）
所以

3F1+60N

3F2+60N

=

3

1

；
解得：F₁=3F₂+40N；⑤
因?yàn)?I>m₁：m₂=4：1，所以G₁：G₂=m₁：m₂=4：1；

G1

G2

=

4F1-2×60N

4F2-2×60N

=

4

1

；⑥
解得：F₂=130N；F₁=430N；
G₁=1600N；
所以重物E的最大質(zhì)量mm₁=

G1

g

=

1600N

10N/kg

=160kg；
（3）因?yàn)?I>G₁：G₂=4：1，所以G₂=

G1

4

=

1600N

4

=400N；
滑輪組的機(jī)械效率最小時(shí)，提升的物體的重力最小，最小重力為400N；
最小機(jī)械效率η=

W有用

W總

=

G2h

(G2+2G動(dòng))h

=

G2

(G2+2G動(dòng))

=

400N

400N+2×60N

×100%≈77%．
答：（1）滑輪組對(duì)杠桿A端的最大拉力F_A1與最小拉力F_A2之比為3：1；
（2）重物E的最大質(zhì)量m₁為160kg；
（3）滑輪組的最小機(jī)械效率為77%．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拉力、質(zhì)量、機(jī)械效率的計(jì)算，關(guān)鍵是杠桿平衡條件的應(yīng)用，難點(diǎn)是對(duì)物體進(jìn)行受力分析和機(jī)械效率變形公式的推導(dǎo)，是一道難題，解題過(guò)程中一定要細(xì)心，不然一步做錯(cuò)，后面的就會(huì)全部做錯(cuò)．