Question

12．某工廠設(shè)計(jì)了一個(gè)蓄水池（如圖所示），水源A罐的液面高度h₁保持不變．罐底有一個(gè)小出水口，面積為S₁．孔下通過(guò)一個(gè)截面積為S₂活塞與杠桿BC相連．杠桿可繞B端上下轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端有一個(gè)中空的圓柱形浮子，橫截面積為S₃，BO是杠桿總長(zhǎng)的$\frac{1}{3}$．原設(shè)計(jì)打算當(dāng)杠桿水平時(shí)，浮子浸入水深為h₂，活塞恰好能堵住出水口，但在使用時(shí)發(fā)現(xiàn)，活塞離出水口尚有極小一段距離時(shí)，浮子便不再上浮，此時(shí)浮子沒(méi)入水深為h₃．為了使活塞自動(dòng)堵住出水口，只得將浮子的重量減去G′．減重前活塞S₂比A容器底部低$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$，減重后活塞S₂恰好與A容器底部相平．試求浮子應(yīng)減去重量G′的大�。�（活塞及連桿的重量不計(jì)，杠桿所受浮力不記．）

Answer 1

分析 分別根據(jù)杠桿的平衡條件列出浮子C減重前、后杠桿平衡的等式，求出浮子減重前、后重力的大小，然后求得浮子應(yīng)減去重量G′的大�。�

解答 解：
（1）浮子減重前重力為G，
由阿基米德原理，浮子受到的浮力：F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水gS₃h₃，
對(duì)杠桿C端作用力：F_C=F_浮-G=ρ_水gS₃h₃-G；
由p=$\frac{F}{S}$，A容器中水對(duì)活塞壓力：F_O=pS=ρ_水gh=ρ_水gS₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$），
根據(jù)杠桿的平衡條件：
F_CL=F_O×$\frac{1}{3}$L，
即：（ρ_水gS₃h₃-G）×L=ρ_水gS₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$）×$\frac{1}{3}$L
解得：G=ρ_水gS₃h₃-$\frac{1}{3}$ρ_水gS₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$）；
（2）浮子減重后重力為G₁，
同理：
對(duì)杠桿C端作用力：F_C′=F_浮′-G₁=ρ_水gS₃h₂-G₁；
A容器中水對(duì)活塞壓力：F_O′=p′S=ρ_水gh′=ρ_水gS₁h₁，
根據(jù)杠桿的平衡條件：F_C′L=F_O′×$\frac{1}{3}$L，
即：（ρ_水gS₃h₂-G₁）L=ρ_水gS₁h₁×$\frac{1}{3}$L，
解得：G₁=ρ_水gS₃h₂-$\frac{1}{3}$ρ_水gS₁h₁；
（3）浮子減去的重量：
G′=G-G₁
=ρ_水gS₃h₃-$\frac{1}{3}$ρ_水gS₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$）-（ρ_水gS₃h₂-$\frac{1}{3}$ρ_水gS₁h₁）
=$\frac{1}{3}$ρ_水g[S₁h₁+3S₃（h₃-h₂）-S₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$）]
答：浮子應(yīng)減去重量G′的大小為$\frac{1}{3}$ρ_水g[S₁h₁+3S₃（h₃-h₂）-S₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$）]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了阿基米德原理、壓強(qiáng)、杠桿平衡條件公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確分析杠桿上兩種平衡狀態(tài)時(shí)受到的力，有相當(dāng)?shù)碾y度，要細(xì)心！