Question

20．如圖所示，在x軸的原點(diǎn)放一點(diǎn)光源S，距點(diǎn)光源為a處，放一不透光的邊長(zhǎng)為a的正方體物塊，若在x軸的上方距x軸為2a處放一個(gè)平行于x軸并且面向物塊的長(zhǎng)平面鏡，則在x軸上正方體的右邊有部分區(qū)域被鏡面反射來(lái)的光照亮．
試?yán)�用平面鏡成像的特點(diǎn)、光的反射定律和相應(yīng)的幾何知識(shí)完成以下問(wèn)題：
（1）作出點(diǎn)光源S在平面鏡中所成的像S’（保留作圖痕跡）；
（2）作圖找出正方體的右邊被鏡面反射來(lái)的光照亮區(qū)域的長(zhǎng)度并在圖中標(biāo)為L(zhǎng)．
（3）試推證：L=$\frac{4}{3}$a．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面鏡成像的規(guī)律作出點(diǎn)光源S在平面鏡中所成的像S’；
（2）根據(jù)平面鏡成像的規(guī)律和光的直線傳播規(guī)律分別確定在x軸上能照亮的最右端和最左端；
（3）根據(jù)平面鏡成像的規(guī)律結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)證明．

解答 解：（1）先根據(jù)平面鏡成像時(shí)像與物關(guān)于平面鏡對(duì)稱，作出點(diǎn)光源S的像點(diǎn)S′；
（2）設(shè)正方體的上面兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B，
根據(jù)平面鏡成像的特點(diǎn)：像與物關(guān)于鏡面對(duì)稱，利用光的直線傳播，連接S與正方體的A點(diǎn)，延長(zhǎng)交于鏡面于G，連接S′G并延長(zhǎng)交x軸于D點(diǎn)，即為能照射到的最右端；
連接S′與正方體的B點(diǎn)，交于鏡面于H點(diǎn)，并延長(zhǎng)S′B交x軸于C點(diǎn)，即為能照射到的最左端；
正方體的右邊被鏡面反射來(lái)的光照亮區(qū)域的長(zhǎng)度L即為圖中的CD；
（3）因?yàn)镾距離平面鏡為2a，則S′距離平面鏡也為2a，
那么鏡中的像S′與點(diǎn)光源S相距2a+2a=4a；
連接SA，光反射到D點(diǎn)，連接S′B，光反射到C點(diǎn)：

由圖可知：BE=2a，SS′=4a，S′E=4a-a=3a，
因?yàn)椤鱏′EB∽△S′SC，
所以$\frac{SC}{EB}=\frac{SS′}{S′E}$，即$\frac{SC}{2a}=\frac{4a}{3a}$，
則SC=$\frac{8a}{3}$，
SF=AF=a，則△SFA為等腰直角三角形，∠ASF=∠HGS=45°，
∠SGD=90°，△SGD為等腰直角三角形，故SD=4a，
則L=CD=SD-SC=4a-$\frac{8a}{3}$=$\frac{4}{3}$a．
故答案為：（1）如上圖所示；（2）如上圖所示；（3）證明如上．

點(diǎn)評(píng) 在作光源照亮的某一范圍時(shí)，最關(guān)鍵的問(wèn)題是作出被照亮范圍的邊緣光線，用到所學(xué)的反射定律、平面鏡成像特點(diǎn)、反射光線反向延長(zhǎng)過(guò)像點(diǎn)等知識(shí)去解決．同時(shí)本題對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要求較高，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)有物理中的應(yīng)用，有難度．