Question

16．在野外生存訓練中，小軍的任務是要從A處走到河岸取水后然后送到B處，如圖．若A、B兩地相距3000m，MN是與AB連線平行的小河的河岸．AB到河岸的垂直距離為2000m，小軍速度大小恒為5km/h，不考慮取水停留時間，請為小軍設計一條最路線，在圖中做出這條最短路線（請保留必要的作圖痕跡）并算出小軍取水的最短時間．

Answer 1

分析 （1）利用平面鏡成像的特點：像與物關于平面鏡對稱，作出發(fā)光點A的像點A′，根據(jù)反射光線反向延長通過像點，可以由像點和B點確定反射光線所在的直線，兩點之間，直線最短．
（2）已知AB間的距離是3000m，AB到河岸的距離（AD）是2000m，可以計算出DB間的距離，此時便可知道小軍要走的路程了，又知速度，根據(jù)v=$\frac{s}{t}$變形計算出所需時間；

解答 解：（1）作出發(fā)光點A關于平面鏡的對稱點，即為像點A′，連接A′、B點交平面鏡于點O，沿OB畫出反射光線，連接AO畫出入射光線，如圖所示，圖中O就是入射點；

①由圖可知，A′B的連線是線段，兩點之間，線段最短，即此時A′B之間的距離（A′O+OB）最短；
②根據(jù)平面鏡成像的特點可知，此時AD=A′D，且Rt△ADO與Rt△A′DO有一條公共邊DO，故可知Rt△ADO≌Rt△A′DO，
即AO=A′O；
故AO+OB=A′O+OB；
即此時O點是最短路線的取水點．
（2）由上圖可知，小軍通過的路程是AO+OB，
此時，AB=3000m，AD=2000m，AA′=AD+DA′=2000m+2000m=4000m，
根據(jù)勾股定理可知，A′B=5000m，OB=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$×5000m=2500m，
DO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×3000m=1500m，
AO=$\sqrt{（AD）^{2}+（DO）^{2}}$=$\sqrt{（2000m）^{2}+（1500m）^{2}}$=2500m，
故小軍通過的路程s=AO+OB=2500m+2500m=5000m=5km，
由v=$\frac{s}{t}$可得，
所需的時間：
t=$\frac{s}{v}$=$\frac{5km}{5km/h}$=1h；
答：小軍取水的最短時間為1h．

點評 本題利用平面鏡成像的特點，并結合數(shù)學知識，解決實際問題（取水路線最短），綜合性較強，是中考考查的熱點問題．