Question

16．甲乙兩同學同時從跑道一端前往另一端．甲同學在全程時間的一半跑，速度為v₁，另一半時間走，速度為v₂；乙同學在同學在全程路程的一半跑，速度為v₁，另一半路程走，速度為v₂．如果他們走和跑的速度分別都相等則：
（1）求甲同學全程的平均速度；
（2）求乙全程的平均速度；
（3）問甲乙同學誰先到達目的地，請分析論證．

Answer 1

分析 （1）設甲同學全程一半的時間為t，則通過全程的時間為2t，根據(jù)s=vt求出甲同學所通過的路程，利用v=$\frac{s}{t}$可求得甲同學全程的平均速度；
（2）設乙同學全程的一半的路程為s，則全程的路程為2s，根據(jù)t=$\frac{s}{v}$求出乙同學所用的時間，利用v=$\frac{s}{t}$可求得甲同學全程的平均速度；
（3）由于通過的路程相同，則根據(jù)t=$\frac{s}{v}$即可比較甲、乙兩個同學哪一個所用的時間短一些．

解答 解：（1）設甲同學全程一半的時間為t，則通過全程的時間為2t，
由v=$\frac{s}{t}$得：前一半的時間通過的路程為s₁′=v₁t，
后一半的時間通過的路程為s₂′=v₂t，
則甲同學所通過的總路程為s=s₁′+s₂′=v₁t+v₂t=（v₁+v₂）t，
甲同學全程的平均速度v_甲=$\frac{{s}_{甲}}{{t}_{甲}}$=$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）t}{2t}$=$\frac{1}{2}$（v₁+v₂）；
（2）設乙同學全程的一半路程為s，則全程的路程為2s，
由v=$\frac{s}{t}$得：前一半的路程所用時間t₁′=$\frac{s}{{v}_{1}}$，
后一半的路程所用時間為t₂′=$\frac{s}{{v}_{2}}$，
則乙同學所通過的總時間為t_乙=t₁′+t₂′=$\frac{s}{{v}_{1}}$+$\frac{s}{{v}_{2}}$，
乙同學全程的平均速度v_乙=$\frac{{s}_{乙}}{{t}_{乙}}$=$\frac{s}{\frac{s}{{v}_{1}}+\frac{s}{{v}_{2}}}$=$\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；
（3）因為$\frac{{v}_{甲}}{{v}_{乙}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{v}_{1}+{v}_{2}）}{\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}}$=$\frac{{（v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{{2v}_{1}{v}_{2}}$1+$\frac{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}{{2v}_{1}{v}_{2}}$＞1，
所以v_甲＞v_乙，
由于甲乙兩同學同時從跑道一端前往另一端，通過的路程相同，根據(jù)t=$\frac{s}{v}$可知甲同學所用的時間短一些．
所以甲同學先到達目的地．
答：（1）甲同學全程的平均速度為$\frac{1}{2}$（v₁+v₂）；
（2）乙全程的平均速度為$\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；
（3）甲同學先到達目的地．

點評 此題是一道難度較大的速度計算題，解答的過程中培養(yǎng)了學生利用所學的知識來解決實際問題的能力．