Question

11．如圖所示電路，電源電壓恒為U，R₁=R，現(xiàn)有一個(gè)正N邊形，每條邊的電阻均為R，其頂點(diǎn)分別用字母A₁、A₂…A_N表示，若將該多邊形的任意兩個(gè)頂點(diǎn)分別與電路中的A、B兩點(diǎn)相連接，則電壓表讀數(shù)的最大值和最小值各為多少？

Answer 1

分析 正N邊形相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)接入電路中時(shí)，電路中的電阻最小，電路可以看做一個(gè)邊的電阻R與另外（N-1）個(gè)R串聯(lián)后的并聯(lián)；N為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)$\frac{N}{2}$個(gè)R電阻串聯(lián)與另$\frac{N}{2}$個(gè)R電阻串聯(lián)后兩者并聯(lián)時(shí)電路中的總電阻最大；N為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)$\frac{N-2}{2}$R電阻串聯(lián)與另$\frac{N+2}{2}$個(gè)R電阻串聯(lián)后兩者并聯(lián)時(shí)電路中的總電阻最大；根據(jù)電阻的串聯(lián)和并聯(lián)求出電路中的總電阻，再根據(jù)歐姆定律電阻的串聯(lián)和歐姆定律求出電路中的電流，再根據(jù)歐姆定律求出電壓表的最大和最小示數(shù)．

解答 解：①當(dāng)正N邊形相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)接入電路中時(shí)，電路中的電阻最小，
電路可以看做一個(gè)邊的電阻R與另外（N-1）個(gè)R串聯(lián)后的并聯(lián)，
因串聯(lián)電路中總電阻等于各分電阻之和，且并聯(lián)電路中總電阻的倒數(shù)等于各分電阻倒數(shù)之和，
所以，R_AB=$\frac{R×（N-1）R}{R+（N-1）R}$=$\frac{（N-1）R}{N}$，
電路中的總電阻：
R_總=R_AB+R₁=$\frac{（N-1）R}{N}$+R=$\frac{（2N-1）R}{N}$，
電路中的電流：
I=$\frac{U}{{R}_{總}(cāng)}$=$\frac{U}{\frac{2N-1}{N}R}$=$\frac{NU}{（2N-1）R}$，
電壓表的最大示數(shù)：
U₁=IR₁=$\frac{NU}{（2N-1）R}$×R=$\frac{NU}{2N-1}$；
②N為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)$\frac{N}{2}$個(gè)R電阻串聯(lián)與另$\frac{N}{2}$個(gè)R電阻串聯(lián)后兩者并聯(lián)時(shí)，電路中的總電阻最大，
R_AB=$\frac{\frac{NR}{2}×\frac{NR}{2}}{\frac{NR}{2}+\frac{NR}{2}}$=$\frac{NR}{4}$，
電路中的總電阻：
R_總=R_AB+R₁=$\frac{NR}{4}$+R=$\frac{（N+4）R}{4}$，
電路中的電流：
I=$\frac{U}{{R}_{總}(cāng)}$=$\frac{U}{\frac{（N+4）R}{4}}$=$\frac{4U}{（N+4）R}$，
電壓表的最小示數(shù)：
U₁=IR₁=$\frac{4U}{（N+4）R}$×R=$\frac{4U}{N+4}$；
N為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)$\frac{N-2}{2}$R電阻串聯(lián)與另$\frac{N+2}{2}$個(gè)R電阻串聯(lián)后兩者并聯(lián)時(shí)，電路中的總電阻最大，
R_AB=$\frac{\frac{N-2}{2}R×\frac{N+2}{2}R}{\frac{N-2}{2}R+\frac{N+2}{2}R}$=$\frac{（{N}^{2}-4）R}{4N}$，
電路中的總電阻：
R_總=R_AB+R₁=$\frac{（{N}^{2}-4）R}{4N}$+R=$\frac{（{N}^{2}+4N-4）R}{4N}$，
電路中的電流：
I=$\frac{U}{{R}_{總}(cāng)}$=$\frac{U}{\frac{（{N}^{2}+4N-4）R}{4N}}$=$\frac{4NU}{（{N}^{2}+4N-4）R}$，
電壓表的最小示數(shù)：
U₁=IR₁=$\frac{4NU}{（{N}^{2}+4N-4）R}$×R=$\frac{4NU}{{N}^{2}+4N-4}$．
答：電壓表讀數(shù)的最大值為$\frac{NU}{2N-1}$；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)最小阻為$\frac{4U}{N+4}$，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)最小值為$\frac{4NU}{{N}^{2}+4N-4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電阻的串聯(lián)和并聯(lián)以及歐姆定律的應(yīng)用，會(huì)判斷正N邊形的電阻的連接方式和最大、最小值是解題的關(guān)鍵．