Question

16．一塊冰內(nèi)含有一小石塊，將它們放在盛有質(zhì)量為1kg水的圓柱形容器中恰好懸浮．（如圖甲所示）．此時(shí)圓柱形容器內(nèi)的水面升高了4.6cm，當(dāng)冰塊全部熔化后，容器底部所受水的壓強(qiáng)改變了44pa，（如圖乙所示）設(shè)圓柱形容器內(nèi)橫截面積為50cm²（g取10N/kg，ρ_冰=0.9×10³kg/m³，ρ_水=1.0×10³kg/m³求：
（1）含有石塊的冰塊懸浮時(shí)，水對(duì)容器底的壓強(qiáng)？
（2）石塊的體積是多少？
（3）石塊的密度是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)容器中原有水的質(zhì)量，利用體積公式可求出原來(lái)水的深度，已知放入含石塊的冰塊后容器內(nèi)的水面升高了4.6cm，可以求出冰塊懸浮時(shí)水的深度，根據(jù)液體壓強(qiáng)公式求出此時(shí)水對(duì)容器底的壓強(qiáng)．
（2）根據(jù)冰熔化為水時(shí)，質(zhì)量保持不變，但體積減小，以體積的減少量作為等量關(guān)系，可列出方程，即可求出整個(gè)冰塊中冰的質(zhì)量和體積；根據(jù)V_總=S△h（△h為水面上升高度）求出整個(gè)冰塊的體積，然后用總體積減去冰的體積即為石塊的體積；
（3）利用物體的懸浮條件F_浮=ρ_水gV_排=G_總求出整個(gè)冰塊的總重力、總質(zhì)量，用總質(zhì)量減去冰的質(zhì)量，即為石塊的質(zhì)量，再用密度公式即可求出石塊的密度．

解答 解：（1）根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$可得，容器中水的體積：
V_水=$\frac{{m}_{水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{1000g}{1g/c{m}^{3}}$=1000cm³；
原來(lái)容器中水的深度：h₁=$\frac{{V}_{水}}{S}$=$\frac{1000c{m}^{3}}{50c{m}^{2}}$=20cm；
已知放入含石塊的冰塊后容器內(nèi)的水面升高了4.6cm，
所以甲圖中水的深度：h₂=h₁+△h=20cm+4.6cm=24.6cm=0.246m；
含有石塊的冰塊懸浮時(shí)，水對(duì)容器底的壓強(qiáng)：
p=ρ_水gh₂=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.246m=2460pa．
（2）根據(jù)△p=ρ_水g△h可得，當(dāng)冰全部熔化后水面下降的高度：
△h′=$\frac{△p}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{44pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=4.4×10^-3m=0.44cm；
水面下降的體積：△V=S△h′=50cm²×0.44cm=22cm³；
由題意得，冰的體積減去冰熔化成水后的體積，就是水面下降的體積，
即：V_冰-V_冰化水=△V  ①
冰熔化成水質(zhì)量不變，根據(jù)體積公式①式可寫為：
$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{冰}}$-$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{水}}$=△V，代入數(shù)據(jù)有：$\frac{{m}_{冰}}{0.9g/c{m}^{3}}$-$\frac{{m}_{冰}}{1g/c{m}^{3}}$=22cm³；
解得：m_冰=198g，
則冰的體積：V_冰=$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{冰}}$=$\frac{198g}{0.9g/c{m}^{3}}$=220cm³；
根據(jù)“放入含石塊的冰塊后容器內(nèi)的水面升高了4.6cm且整個(gè)冰塊懸浮”可知，
冰和石塊的總體積：V_總=S△h=50cm²×4.6cm=230cm³；
所以石塊的體積：V_石=V_總-V_冰=230cm³-220cm³=10cm³．
（3）甲圖中，整個(gè)冰塊懸浮在水中，根據(jù)阿基米德原理和懸浮條件有：ρ_水gV_排=m_總g，
所以冰和石塊的總質(zhì)量：m_總=ρ_水V_排=ρ_水V_總=1g/cm³×230cm³=230g；
則石塊的質(zhì)量：m_石=m_總-m_冰=230g-198g=32g；
所以石塊的密度：ρ_石=$\frac{{m}_{石}}{{V}_{石}}$=$\frac{32g}{10c{m}^{3}}$=3.2g/cm³=3.2×10³kg/m³ ．
答：（1）含有石塊的冰塊懸浮時(shí)，水對(duì)容器底的壓強(qiáng)為2460pa；
（2）石塊的體積是10cm³；
（3）石塊的密度是3.2×10³kg/m³．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查學(xué)生對(duì)密度公式、液體壓強(qiáng)公式、物體懸浮條件、阿基米德原理等知識(shí)的掌握和運(yùn)用，計(jì)算時(shí)注意統(tǒng)一單位，本題的難點(diǎn)在于理解液面高度變化的原因和找到隱含條件．