Question

4．演繹式探究-探究太陽的引力系數(shù)：
（1）宇宙中任何兩個(gè)物體之間都存在萬有引力，萬有引力的大小F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，其中m₁、m₂分別為兩個(gè)物體間的距離，萬有引力常數(shù)G=6.67×10^-11N•m²/kg²．物體間引力和距離一定時(shí)，兩個(gè)物體質(zhì)量m₁、m₂分的關(guān)系可以用如圖中圖線b來表示．
（2）行星繞恒星的運(yùn)動可以近似地看作勻速圓周運(yùn)動．行星受到一個(gè)恒定的指向恒星的向心力，向心力的大小F_向=mω²r，其中m為行星質(zhì)量，r為兩星之間的距離，ω為行星做圓周運(yùn)動的角速度，其大小等于單位時(shí)間內(nèi)行星與恒星連線轉(zhuǎn)過的角度．行星繞恒星運(yùn)動一周所用的時(shí)間用周期T表示，角速度ω與轉(zhuǎn)動周期T的關(guān)系為：ω=$\frac{2π}{T}$．行星所受向心力F_向的大小等于恒星對行星的引力F_引的大小．
    每個(gè)星球?qū)υ谒�表面附件的物體都存在引力，引力與物體質(zhì)量的比值叫作引力系數(shù)，用g表示，我們學(xué)過地球的引力系數(shù)g_地=10N/kg．對于每個(gè)星球來講，下列公式成立：R²g=GM，其中R為星球半徑，g為星球引力系數(shù)，M為星球質(zhì)量，萬有引力常數(shù)G=6.67×10^-11N•m²/kg²．
已知地球質(zhì)量為m，地球到太陽的距離為L，太陽半徑為R，地球的公轉(zhuǎn)周期為T．請你推導(dǎo)出太陽的引力系數(shù)g_日=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力的大小F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，分析其中已知量和不為的量和變化的量，可得兩個(gè)物體質(zhì)量m₁、m₂分的關(guān)系，從而確定圖象；
（2）太陽為恒星，地球?yàn)樘�陽的行星，根�?jù)它們之間的萬有引力公式和它們之間的向心力公式，結(jié)合對于太陽來講，R²g=GM進(jìn)行推導(dǎo)．

解答 解：（1）萬有引力的大小F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，其中m₁、m₂分別為兩個(gè)物體間的距離，萬有引力常數(shù)：
G=6.67×10^-11N•m²/kg²．由上式可知：
物體間引力和距離一定時(shí)，兩個(gè)物體質(zhì)量m₁、m₂分之積為定值，為反比例函數(shù)的關(guān)系，故可以用如圖中圖線b來表示．
（2）地球?yàn)樘�陽的行星，根�?jù)萬有引力公式，F(xiàn)_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=G$\frac{mM}{{L}^{2}}$-----①，
它們之間的向心力：
F_向=mω²r=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$-----②；
因地球所受向心力F_向的大小等于太陽對地球的引力F_引的大小．由①②得：
F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=G$\frac{mM}{{L}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$L，
即GM=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{T}^{2}}$------③；
又對于每個(gè)星球來講，R²g_日=GM，
g_日=$\frac{GM}{{R}^{2}}$-----④，將③代入④得：
太陽的引力系數(shù)g_日=$\frac{\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{T}^{2}}}{{R}^{2}}$$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
故答案為：（1）b；（2）如上所示．

點(diǎn)評 本題探究太陽的引力系數(shù)，考查根據(jù)公式確定函數(shù)關(guān)系及圖象，關(guān)鍵是從題中獲取有效的信息，體現(xiàn)了和高中物理知識的銜接．