Question

6．在如圖所示的分壓電路中，電壓U恒定不變，滑動變阻器的總電阻值R=100Ω，要求滑動觸頭P在上下移動的過程中，負(fù)載R_L上的電壓U_L始終不低于空載（即不接R_L，相當(dāng)于此處斷開）時輸出電壓的90%，那么R_L的最小值是225Ω

Answer 1

分析 如圖所示：負(fù)載R_L的兩端ab空載時，a、b間電壓和R₁的電壓相等，根據(jù)串聯(lián)分壓特點求出此時a、b間的電壓；ab兩端接負(fù)截R_L時的輸出電壓不得低于空載時電壓的90%，據(jù)此表示出此時a、b間的電壓，利用串聯(lián)分壓公式求出并聯(lián)電阻的不等式，利用電阻的并聯(lián)特點求出R_L的允許值范圍．

解答 解：設(shè)滑動變阻器觸頭P下部分的電阻值為R₁，由圖可知：負(fù)載ab兩端的輸出電壓就等于R₁兩端的電壓；
當(dāng)空載時電路中的電流I=$\frac{U}{R}$，則根據(jù)歐姆定律可知輸出電壓：U_空載=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{\;}}$U；
當(dāng)接負(fù)載時，R₁與R_L并聯(lián)，
根據(jù)并聯(lián)電路的總電阻的倒數(shù)等于各支路電阻的倒數(shù)之和得：
R_并=$\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}$，
則根據(jù)串聯(lián)電路的總電阻等于各電阻之和得：
R_總=R-R₁+R_并=R-R₁+$\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}$，
則此時干路電流I=$\frac{U}{R-{R}_{1}+\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}}$，
所以根據(jù)歐姆定律可知負(fù)載上的輸出電壓U_負(fù)載=IR_總=$\frac{U}{R-{R}_{1}+\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}}$×$\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}$，
由于負(fù)載R_L上的電壓U_L始終不低于空載（即不接R_L，相當(dāng)于此處斷開）時輸出電壓的90%，
即U_負(fù)載≥90%U_空載；
所以，$\frac{U}{R-{R}_{1}+\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}}$×$\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}$≥90%×$\frac{{R}_{1}}{{R}_{\;}}$U；
整理得：9（R-R₁）（R₁+R_L）+9R₁R_L-10R_LR≤0，
帶入數(shù)據(jù)得：9（100Ω-R₁）（R₁+R_L）+9R₁R_L-10R_L×100Ω≤0；
所以，9R₁²-900R₁+100R_L≥0；
為保證在實數(shù)范圍內(nèi)有解，則對于上式中的其根判別式△≥0，
即：900²-3600R_L≥0；
解得：R_L≥225Ω；
所以，R_L的最小值是225Ω．
故答案為：225．

點評 本題考查了串聯(lián)電路的電阻分壓特點和并聯(lián)電路電阻特點，以及歐姆定律的應(yīng)用，關(guān)鍵是分清電路的串并聯(lián)，接負(fù)截R_f時的輸出電壓不得低于空載時電壓的90%這一條件．關(guān)鍵是會運用了一元二次方程的知識判斷最大值．