Question

3．某人站在離湖岸邊6m的C處，剛好能看見湖對岸的一棵樹HG在水中的完整的像，如果眼距地面的高度為1.5m，湖兩岸均高出湖水面2m，湖寬40m．則該樹HG的高度為6m．

Answer 1

分析 平面鏡成像的特點是：像和物大小相等，像到鏡面的距離等于物體到鏡面的距離，像為虛像．根據(jù)平面鏡成的特點就可以作出GH經(jīng)水面反射后射入人眼的光路圖．再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答

解答 解：首先作出G、H兩點關(guān)于水面的對稱點G'、H'，即GH的虛像；然后把人眼和H'連接起來作出反射光線，如圖所示：

根據(jù)對頂角相等可知，∠BOA′=∠AOH′，因此Rt△AOH′∽Rt△BOA′，
所以$\frac{A{H}^{′}}{{A}^{′}B}$=$\frac{OA}{O{A}^{′}}$，而從題可知，A′B=2m，OA′=40m-OA，
即$\frac{A{H}^{′}}{2m}$=$\frac{OA}{40m-OA}$①式；
根據(jù)同位角相等可知，∠BOA′=∠DBC，而∠BOA′=∠AOH′，因此∠DBC=∠AOH′，所以Rt△AOH′∽Rt△DBC′，
所以$\frac{A{H}^{′}}{CD}$=$\frac{OA}{BC}$，而從題可知，CD=1.5m，BC=6m，
即$\frac{A{H}^{′}}{1.5m}$=$\frac{OA}{6m}$②式；
由②式可得：OA=4AH′③式，
把③式代入①式可得：$\frac{A{H}^{′}}{2m}$=$\frac{4A{H}^{′}}{40m-4A{H}^{′}}$
，解得：AH′=8m，而AG′=2m，
所以G′H′=AH′-AG′=8m-2m=6m，
即該樹HG的高度為6m；
故答案為：6．

點評 解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．解答此題還可用連接BG，根據(jù)Rt△BGH′∽Rt△BCD，解得G′H′=6m．