Question

13．如圖甲所示，底面積為50cm²、高為10cm的平底圓柱形容器和一個質(zhì)量為100g、體積為40cm³的小球置于水平桌面上（容器厚度不計）．容器內(nèi)盛某種液體時，容器和液體的總質(zhì)量與液體的體積關系如圖乙所示．求：

（1）液體的密度是多少g/cm³？
（2）容器內(nèi)盛滿這種液體后，容器底部受到液體的壓強是多少Pa？
（3）容器內(nèi)盛滿這種液體后，再將小球輕輕地放入容器中，小球靜止后，容器對桌面的壓強是多少Pa？
（4）若把上述液體倒干凈后，在容器內(nèi)放入一個底面積為2×10^-3m²、高為0.2m的圓柱形物塊，且與容器底不密合，物塊的密度為0.5×10³kg/m³，取g=10N/kg．向容器內(nèi)緩慢注水，使物塊對容器底的壓強恰好為零時，求向容器內(nèi)注入水的質(zhì)量是0.3kg．

Answer 1

分析 （1）液體的密度ρ_液=$\frac{{m}_{液}}{{V}_{液}}$，m_液、V_液可從圖中得出．
（2）已知水的密度和深度，利用p=ρgh得到產(chǎn)生的壓強．
（3）已知小球質(zhì)量和體積，可以得到小球密度；根據(jù)小球密度和水的密度關系，確定小球靜止的位置；根據(jù)阿基米德原理得到小球受到的浮力和排開液體的重力；根據(jù)液體壓力和受力面積得到容器對桌面的壓強；
（4）當物塊與容器底接觸且物塊對容器底的壓強恰好為零時，物體所受的浮力等于自身的重力；根據(jù)公式F_浮=ρgV_排可求物體排開水的體積；從而求出物體浸入水中的深度；根據(jù)公式V=Sh可求注入水的體積；根據(jù)公式m=ρV可求注入水的質(zhì)量．

解答 解：（1）由乙圖可知，容器的質(zhì)量為m_容器=100g，液體體積為V_液體=200cm³時，容器和液體的總質(zhì)量m_總=300g，
液體的質(zhì)量m_液=m_總-m_容器=300g-100g=200g，
液體的密度為ρ_液=$\frac{{m}_{液}}{{V}_{液}}$=$\frac{200g}{200c{m}^{3}}$=1g/cm³．
（2）容器內(nèi)盛滿這種液體后，液體深度h_液=10cm=0.1m．
容器底部受到的液體壓強為：p=ρ_液gh_液=1×10³kg/m³×10N/kg×0.10m=10³Pa．
（3）小球的密度為：ρ=$\frac{{m}_{球}}{{V}_{球}}$=$\frac{100g}{40c{m}^{3}}$=2.5g/cm³，
小球的密度大于液體的密度，所以小球靜止后應浸沒在液體中，則小球排開液體的重力為：
F_浮=G_排=ρ_液gV_排=1×10³kg/m³×10N/kg×40×10^-6m³=0.4N，
容器內(nèi)盛滿這種液體后，液體質(zhì)量為m=ρ_液V=ρ_液Sh=1×10³kg/m³×50×10^-4m²×0.1m=0.5kg，
容器對桌面的壓強為：
p=$\frac{{G}_{容器}+{G}_{球}+G-{G}_{排}}{S}$=$\frac{{m}_{容器}+{m}_{球}+m）g-{G}_{排}}{S}$=$\frac{（0.1kg+0.1kg+0.5kg）×10N/kg-0.4N}{5×1{0}^{-3}{m}^{2}}$=1.32×10³Pa．
（4）當物塊與容器底接觸且物塊對容器底的壓強恰好為零時：
F_浮=G_物=m_物g=ρ_物S_物h_物g=0.5×10³kg/m³×2×10^-2m²×0.2m×10N/kg=20N；
F_浮=ρ_水gV_排，
物體排開水的體積V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{20N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=2×10^-3m³；
物塊浸入水中的深度為h_水=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{物}}$=$\frac{2×1{0}^{-3}{m}^{3}}{2×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.1m；
注入水的體積為V_水=（S_容-S_物）h_水=（5-2）×10^-3m²×0.1m=3×10^-4m³；
注入水的質(zhì)量為m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×3×10^-4m³=0.3kg；
答：（1）液體的密度是1g/cm³；
（2）容器內(nèi)盛滿這種液體后，容器底部受到液體的壓強是10³Pa；
（3）容器內(nèi)盛滿這種液體后，再將小球輕輕地放入容器中，小球靜止后，容器對桌面的壓強是1.32×10³Pa；
（4）0.3kg．

點評 此題涉及到壓強、液體壓強的計算，阿基米德原理，物體的浮沉條件，力的合成與應用等知識點，綜合性較強，而且有一定的拔高難度，在計算時還要注意統(tǒng)一使用國際單位制的單位．