Question

（2012?北京一模）如圖為一水箱自動進(jìn)水裝置．其中水箱高h(yuǎn)為3m，桿AB能繞O點(diǎn)在豎直平面轉(zhuǎn)動，OA=2OB，且O點(diǎn)距箱底1m．C處為進(jìn)水管閥門，閥門厚度不計(jì)，進(jìn)水管口橫截面積為2cm²．BC為一直桿，A點(diǎn)以一細(xì)繩與浮體D相連，浮體D是一個密度為0.4×10³kg/m³的圓柱體，高為0.5m，細(xì)繩長為1m．細(xì)繩、桿、閥的重力不計(jì)，AB桿水平時(shí)正好能堵住進(jìn)水管．當(dāng)進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)為P₁時(shí)，水箱深度為2.4m．設(shè)進(jìn)水管中水的最大壓強(qiáng)為P₂，且P₁：P₂=11：15．現(xiàn)在進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)為P₃，P₃=3.3×10⁴Pa，且P₃＜P₁．求水箱中水的深度為多少時(shí)，進(jìn)水管停止進(jìn)水．（g取10N/kg）

Answer 1

分析：（1）由題意可知，當(dāng)水箱中的水恰好滿時(shí)進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)最大；分別對圓柱體、杠桿、進(jìn)水管閥門受力分析，根據(jù)力的平衡條件和杠桿的平衡條件以及相互作用力的條件得出杠桿對進(jìn)水管閥門的拉力；再根據(jù)F=Ps=ρgsh求出水箱中水對閥門的壓力，進(jìn)一步根據(jù)力的平衡條件求出進(jìn)水管中水對閥門的壓力，最后根據(jù)P=

F

S

求出進(jìn)水管中水的最大壓強(qiáng)．
（2）先根據(jù)F=Ps=ρgsh求出進(jìn)水管中的水對閥門的壓力，根據(jù)水深3米對進(jìn)水口壓力才為6N可知此時(shí)浮體起作用；根據(jù)阿基米德原理表示出此時(shí)浮體受到的浮力，根據(jù)力的平衡條件結(jié)合受力分析得出等式，解等式即可求出此時(shí)進(jìn)水管停止進(jìn)水時(shí)水箱中水的深度．

解答：解：
（1）當(dāng)進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)為P₁時(shí)，分別對浮體D、杠桿及閥門C受力分析，如圖1所示：

當(dāng)進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)為P₂時(shí)，分別對浮體D、杠桿及閥門C受力分析，如圖2所示：
當(dāng)進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)為P₃時(shí)，分別對浮體D、杠桿及閥門C受力分析，如圖3所示：

由第一幅圖和第二幅圖可得：
F₁=F₁′=F_浮-G=ρ_水gs₁h₁-ρ_柱gs₁h₁=（ρ_水-ρ_柱）gs₁h₁
=（1.0×10³kg/m³-0.4×10³kg/m³）×10N/kg×10×10^-4m²×0.5m=3N，
由F₁?0A=F₂?OB可得：
F₂′=F₂=2F₁=6N，
由第三幅圖可得：
F₃=P_水S=ρ_水gsh=1.0×10³kg/m³×3m×2×10^-4m²=6N，
F=F₂′+F₃=6N+6N=12N，
進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)不能超過
P_進(jìn)=

F

S

=

12N

2×10-4m2

=6.0×10⁴Pa．
（2）F′=P_進(jìn)′S=3.3×10⁴Pa×2×10^-4m²=6.6N，
由于水深3m對進(jìn)水口壓力才為6N，故浮體起作用時(shí)設(shè)水深為h′則
2ρ_水gS₁（h′-2m）-2ρ_柱gS₁h₁+ρ_水gh′S=F′，
整理可得：h′=

F′+(2ρ水×2m+ρ柱h1)gS1

(2S1+S) ρ水g

=

6.6N+2×(1.0×103kg/m3×2m+0.4×103kg/m3×0.5m)×10N/kg×10×10-4m2

(2×10×10-4m2+2×10-4m2)×1.0×103×10N/kg

≈2.3m．
答：水箱中的水深度達(dá)到2.3m時(shí)，進(jìn)水管停止進(jìn)水．

點(diǎn)評：此題綜合性很強(qiáng)，且難度很大；解答時(shí)，從進(jìn)行受力分析入手，再將題目進(jìn)行分解：浮力問題、杠桿平衡條件問題、壓強(qiáng)問題；將三類問題通過力有機(jī)的結(jié)合在一起，充分利用題目的已知條件，就可解答此題．