在三角形ABC中，AB=AC，點P為線段AB上一點，且
AP
=λ
AB
．
（Ⅰ）若
CP
=
3
4
CA
+
1
4
CB
，求λ的值；
（Ⅱ）若∠A=120°，且
CP
•
AB
＞4
AP
•
PB
，求實數(shù)λ的取值范圍．
考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：對第（Ⅰ）問，根據(jù)平面向量基本定理及已知條件
AP
=λ
AB
，將向量
CP
用向量
CA
，
CB
線性表示，再與向量
3
4
CA
+
1
4
CB
對比即可得λ的值；
對第（Ⅱ）問，由∠A=120°，可將
AB
，
AC
作為一組基底，從而
CP
，
AP
，
PB
都用基底表示，于是得到一個關(guān)于λ的不等式，結(jié)合此不等式的解和0≤λ≤1可知λ的范圍．
解答： 解：（Ⅰ）
CP
=
CA
+
AP
=
CA
+λ
AB
=
CA
+λ(
CB
-
CA
)=(1-λ)
CA
+λ
CB
，
即
CP
=(1-λ)
CA
+λ
CB
，
由題設(shè)知
CP
=
3
4
CA
+
1
4
CB
，根據(jù)平面向量基本定理，有
1-λ=
3
4
λ=
1
4
，
∴λ=
1
4
．
（Ⅱ）設(shè)等腰三角形的腰長為a，則
CP
•
AB
=(
CA
+
AP
)•
AB
=
CA
•
AB
+
AP
•
AB

=|
CA
||
AB
|cos(180°-120°)+|
AP
||
AB
|=
1
2
a2+λa2，
AP
•
PB
=
AP
•(
AB
-
AP
)=
AP
•
AB
-
AP
2=λa2-λ2a2．
由
CP
•
AB
＞4
AP
•
PB
，得
1
2
a2+λa2＞4λa2-4λ2a2，
即8λ2-6λ+1＞0，解得λ＞
1
2
，或λ＜
1
4
．
又點P在線段AB上，所以0≤λ≤1，
故λ的取值范圍是[0，
1
4
)∪(
1
2
，1]．
點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的加、減法運(yùn)算，數(shù)乘運(yùn)算，向量共線的充要條件及平面向量基本定理，涉及的知識點較多，關(guān)鍵是通過計算與變形，使所有向量均用一組基向量表示，從而建立了關(guān)于λ的不等式，最終達(dá)到了求解的目的．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，⊙O的直徑AB=4，點C、D為⊙O上兩點，且∠CAB=45°，F(xiàn)為
BC
的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．
（1）求證：OF∥平面ACD；
（2）在AD上是否存在點E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，試指出點E的位置；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知AB是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，記OM，AB的斜率分別為kOM，kAB，則kOM•kAB=-
b2
a2
．
（1）類比橢圓的上述性質(zhì)，給出一個在雙曲線中也成立的性質(zhì)；
（2）證明（1）中的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
2
+y2=1及點B（0，-2），過左焦點F1與B的直線交橢圓于C、D兩點，F(xiàn)2為其右焦點，求△CDF2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

極坐標(biāo)系下，求直線pcos（θ+
π
3
）=1與圓ρ=
2
的公共點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
9
=1（a＞0）的一條漸近線方程為3x+2y=0，點A為雙曲線C的右頂點，圓O的方程為x2+y2=1．
（1）求a的值；
（2）點M為平面內(nèi)一動點，過M引圓O的切線MN（N為切點），若
MN
MA
=
2
，求動點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

汽車從剎車開始到完全靜止所用的時間叫做剎車時間；所經(jīng)過的距離叫做剎車距離．某型汽車的剎車距離s（單位米）與時間t（單位秒）的關(guān)系為s=5t3-k•t2+t+10，其中k是一個與汽車的速度以及路面狀況等情況有關(guān)的量．
（1）當(dāng)k=8時，且剎車時間少于1秒，求汽車剎車距離；
（2）要使汽車的剎車時間不小于1秒鐘，且不超過2秒鐘，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，試判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓心在直線x+y=0上，且通過點（2，0），（0，-4）的圓的方程為
 
．

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同步練習(xí)冊答案