Question

【題目】圖甲所示為一給草地澆水的玫瑰（噴嘴），它位于草坪的平面上，其頂為球形，且，在球形頂上有一些完全相同的噴水孔，通過這些孔，水以相同的速率向不同的方向噴出。問：

（1）．若玫瑰上的小孔分布均勻，噴頭形成的“水鐘”的形狀是怎樣的？

（2）．若這些孔均勻分布，水將不能均勻地灑在草地上。為了使水均勻地灑在草地上，則玫瑰上單位面積內(nèi)小孔的數(shù)目n與角的關(guān)系是怎樣的？（計算中可不計噴嘴的大�。�

Answer 1

【答案】（1）攻瑰噴出的水所形成的“水鐘”的形狀為上述拋物線繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的形狀（2）

【解析】

（1）由于噴出的水的分布在空中具有旋轉(zhuǎn)對稱性，我們只需要討論過軸線的一個平面內(nèi)的形狀即可。

如圖乙所示，從每個小孔中噴出的水流的軌跡是一條拋物線，從不同角度射出的水流形成的拋物線有一包絡(luò)線，將平面內(nèi)的包絡(luò)線以中心軸旋轉(zhuǎn)，即是“水鐘”的形狀。下面我們先求包絡(luò)線的方程。

對于與y軸成角噴出的水而言，有

， ①

。 ②

據(jù)此，易得噴出的水的射程為

。

顯然，當時，水的射程最遠，這意味著在范因內(nèi)，包絡(luò)線將連續(xù)涵蓋所有的水流。

又由①②可得，每一來水流的拋物線方程為，

整理得。對于上式，應(yīng)該是有解的，此時對于x、y應(yīng)滿足，即。

此即表明水流到達不了的區(qū)城，即所要求的包絡(luò)線方程為。

攻瑰噴出的水所形成的“水鐘”的形狀為上述拋物線繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的形狀。

2．如圖丙所示，我們選取從與對稱軸賣角為至的微小環(huán)帶上噴孔中噴出的水為研究對象，我們應(yīng)讓從玫瑰上這一環(huán)帶中噴出的水均勻地灑在內(nèi)外半徑分別為和的環(huán)帶中，這里和分別為玫瑰從至的環(huán)帶上的噴孔中噴出的水的水平射程。

從與對稱軸夾角為的小孔處噴出的水滴，其水平射程為

與對稱軸夾角為的小孔處噴出的水滴，其水平射程為

，

則環(huán)帶寬度為

。

上式中用到小量近似：，。

澆到半徑為R、寬度為的環(huán)帶上的水是從至的環(huán)帶上小孔中噴出的，該環(huán)帶的寬度為，其噴水量Q與環(huán)帶上的小孔數(shù)成正比：

，

式中，是比例常數(shù)。

因要求灑水均勻，則澆到半徑為R，寬度為的環(huán)帶上的水量與環(huán)帶的面積成正比，所以，

式中，是比例常數(shù)。

由得

。

比例常數(shù)、的大小取決于需要噴水的多少。