Question

【題目】如圖甲所示，豎直平面上有一條光滑的四分之一圓弧軌道AB，它的圓心O與A點(diǎn)等高，A到B又有一條光滑的直線(xiàn)軌道，小球從A點(diǎn)自靜止出發(fā)沿圓弧軌道到達(dá)B點(diǎn)所需的時(shí)間記為，沿直線(xiàn)軌道到達(dá)B點(diǎn)所需的時(shí)間記為。試比較和的大小。若圓弧軌道不足四分之一圓弧，但最低點(diǎn)的切線(xiàn)仍水平，且直線(xiàn)軌道仍連接圓弧兩端，再討論之。

Answer 1

【答案】，

【解析】

解析：這是一個(gè)古老的問(wèn)題，早在伽利略時(shí)代就已經(jīng)提了出來(lái)，只是原始問(wèn)題并不受四分之一圓弧的限制，更具有普遍性。伽利略認(rèn)為沿圓弧下降得快，不僅如此，他還認(rèn)為，A、B間的最快速降線(xiàn)就是圓弧，雖然這一結(jié)論早已被證明是錯(cuò)誤的，但作為中學(xué)生，要給出確切的軌道仍然不能完成，即便是讓學(xué)生比較圓弧軌道與直線(xiàn)軌道的快慢都不是一件容易的事情。下面我們通過(guò)構(gòu)建過(guò)渡模型，解決上述問(wèn)題。

我們先構(gòu)建如圖乙所示的AB及兩條軌道，讓小球從A點(diǎn)開(kāi)始，由靜止分別沿不同的軌道滑至B及，很容易證明，小球沿這兩條軌道滑行的時(shí)間是相同的，即為。（證明略）

現(xiàn)在乙圖的基礎(chǔ)上作出丙圖。在圖中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)作小角的兩條射線(xiàn)，兩條射線(xiàn)在圈弧AB上截得一小段長(zhǎng)為的圓弧，在上截得一小段長(zhǎng)為的線(xiàn)段。

由圖可知，小球在小圓弧處的速度大小為

。

則小球經(jīng)過(guò)小段圓弧的時(shí)間為

。

小球在處的速度大小為。

當(dāng)為小角時(shí)，易得，

則小球經(jīng)過(guò)的時(shí)間為

。

將與比較得。

即恒有，再將其累加求和可得。

若圓環(huán)軌道不足四分之一圓弧，但最低點(diǎn)的切線(xiàn)仍水平，這是更具有普遍性的模型。作如圖丁所示的圖形，同樣設(shè)小球沿圓弧軌道AB運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，沿直線(xiàn)軌道AB運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，參照?qǐng)D示的標(biāo)注并結(jié)合前面的討論內(nèi)容可知，小球沿直線(xiàn)軌道AB運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與沿豎直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，同為。

在圖中，圓弧長(zhǎng)度為，其中R為圓半徑。圈弧段的速度參量可求得為

。

經(jīng)此圓弧段所需時(shí)間為

。

圖中有關(guān)系，由正弦定理得

，

因此。

圓弧段對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)段便為

。

段的速度為

。

小球經(jīng)段的時(shí)間為

。

將與作比較得

。

因?yàn)?/span>，（B在A的下方），所以，即，得，各自累加得與，則必有。

在此作一點(diǎn)說(shuō)明，伽利略認(rèn)為A、B間的最快速降線(xiàn)是某條圓弧的觀點(diǎn)雖然不正確，但值得討論的是，連接A、B的所有可能圓弧中究竟是哪一條下降得最快？