Question

【題目】如圖所示，在半徑為的無限長(zhǎng)圓柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向與圓柱的軸平行，在圖中垂直紙平面向外.將半徑也為的光滑絕緣細(xì)環(huán)固定在紙平面上，并正好套住磁場(chǎng)區(qū).在細(xì)環(huán)上串有一個(gè)質(zhì)量為、電量為（）的帶電小珠.設(shè)時(shí)，磁場(chǎng)，小珠在環(huán)上靜止；時(shí)，隨時(shí)間均勻地增長(zhǎng)：時(shí)，；時(shí)，不變.試定量地討論時(shí)小珠的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及小珠對(duì)圓環(huán)的正壓力（沿圖中徑向）.設(shè)圖中紙平面為水平面，小珠所受重力與環(huán)的支持力抵消.

Answer 1

【答案】在時(shí)間內(nèi)，小珠對(duì)圓環(huán)的正壓力為。當(dāng)時(shí)。小珠對(duì)圓環(huán)的正壓力為

【解析】

無限長(zhǎng)圓柱形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)，其電場(chǎng)線是以圓柱中央軸為圓心的一系列同心圓，固定細(xì)環(huán)所在處就是渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)線，串在細(xì)環(huán)上的帶電小珠將受渦旋電場(chǎng)作用.渦旋電場(chǎng)對(duì)帶電小珠的作用力沿細(xì)環(huán)切向，使小珠獲得切向加速度，于是小珠繞細(xì)環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)的速度逐漸增大.隨著小珠繞細(xì)環(huán)的運(yùn)動(dòng)，小珠還將受到磁場(chǎng)的洛侖茲力（其方向沿徑向指向環(huán)心）以及細(xì)環(huán)的作用力（其方向也沿徑向，由環(huán)心外指），兩者的矢量和為小珠繞細(xì)環(huán)的圓周運(yùn)動(dòng)提供所需的向心力.所求小珠對(duì)細(xì)環(huán)的正壓力正是上述細(xì)環(huán)對(duì)小珠作用力的反作用力.由已知條件，在時(shí)間內(nèi)，磁場(chǎng)隨時(shí)間線性地增長(zhǎng)，且時(shí)，時(shí)，故有.在此時(shí)間內(nèi)，隨的變化率為.

磁場(chǎng)的變化產(chǎn)生了渦旋電場(chǎng)，其電場(chǎng)線是一系列以圓柱中央軸為圓心的同心圓.由楞次定律，渦旋電場(chǎng)的圓形電場(chǎng)線為順時(shí)針方向，故小珠所在處的方向如圖所示.

的大小的

由此，小珠受到的沿環(huán)切向的渦旋電場(chǎng)的作用力為

，

相應(yīng)的切向加速度為.

因小珠在靜止，故在時(shí)刻繞環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)的速度.

當(dāng)小珠在時(shí)刻以繞環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受磁場(chǎng)的洛侖茲力指向圓心（如圖所示），其大小為

.

同時(shí)，小珠還受到細(xì)環(huán)的作用力（方向見圖），與的矢量和提供了小珠繞環(huán)以運(yùn)動(dòng)所需的向心力（指向環(huán)心），其大小為

.

可見，的一半提供為向心，另一半被抵消（故的方向必由環(huán)心外指），即.

小珠對(duì)細(xì)環(huán)的正壓力是的反作用力，故的方向沿徑向指向圓心，大小為.

當(dāng)時(shí)，保持恒定，故渦旋電場(chǎng)不再存在，切向加速度隨之消失，此時(shí)小珠將繞細(xì)環(huán)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其速度.

此時(shí)小珠所受的洛侖茲力為（在上述公式中取）.

此時(shí)小珠所需的向心力為（在的公式中取，）

.

可見，仍有一半被抵消，同樣仍成立，故.

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，若以導(dǎo)體為載體，則計(jì)算的多為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，同時(shí)伴隨電路問題的研究；而撇開導(dǎo)體，研究的往往是感生電場(chǎng)，同時(shí)伴隨著帶電粒子在電場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)，而這種運(yùn)動(dòng)又是以洛侖茲力為背景的.

感生電動(dòng)勢(shì)與感生電場(chǎng)既相關(guān)聯(lián)，又有差別，讀者應(yīng)注意對(duì)這兩類問題進(jìn)行專題分析與研究，熟練甄別其不同之處.