Question

【題目】如圖所示，在半徑為的無限長圓柱形區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，磁場的方向與圓柱的軸平行，在圖中垂直紙平面向外.將半徑也為的光滑絕緣細環(huán)固定在紙平面上，并正好套住磁場區(qū).在細環(huán)上串有一個質量為、電量為（）的帶電小珠.設時，磁場，小珠在環(huán)上靜止；時，隨時間均勻地增長：時，；時，不變.試定量地討論時小珠的運動狀態(tài)以及小珠對圓環(huán)的正壓力（沿圖中徑向）.設圖中紙平面為水平面，小珠所受重力與環(huán)的支持力抵消.

Answer 1

【答案】在時間內(nèi)，小珠對圓環(huán)的正壓力為。當時。小珠對圓環(huán)的正壓力為

【解析】

無限長圓柱形區(qū)域內(nèi)勻強磁場隨時間的變化產(chǎn)生渦旋電場，其電場線是以圓柱中央軸為圓心的一系列同心圓，固定細環(huán)所在處就是渦旋電場的電場線，串在細環(huán)上的帶電小珠將受渦旋電場作用.渦旋電場對帶電小珠的作用力沿細環(huán)切向，使小珠獲得切向加速度，于是小珠繞細環(huán)做圓周運動的速度逐漸增大.隨著小珠繞細環(huán)的運動，小珠還將受到磁場的洛侖茲力（其方向沿徑向指向環(huán)心）以及細環(huán)的作用力（其方向也沿徑向，由環(huán)心外指），兩者的矢量和為小珠繞細環(huán)的圓周運動提供所需的向心力.所求小珠對細環(huán)的正壓力正是上述細環(huán)對小珠作用力的反作用力.由已知條件，在時間內(nèi)，磁場隨時間線性地增長，且時，時，故有.在此時間內(nèi)，隨的變化率為.

磁場的變化產(chǎn)生了渦旋電場，其電場線是一系列以圓柱中央軸為圓心的同心圓.由楞次定律，渦旋電場的圓形電場線為順時針方向，故小珠所在處的方向如圖所示.

的大小的

由此，小珠受到的沿環(huán)切向的渦旋電場的作用力為

，

相應的切向加速度為.

因小珠在靜止，故在時刻繞環(huán)做圓周運動的速度.

當小珠在時刻以繞環(huán)運動時，所受磁場的洛侖茲力指向圓心（如圖所示），其大小為

.

同時，小珠還受到細環(huán)的作用力（方向見圖），與的矢量和提供了小珠繞環(huán)以運動所需的向心力（指向環(huán)心），其大小為

.

可見，的一半提供為向心，另一半被抵消（故的方向必由環(huán)心外指），即.

小珠對細環(huán)的正壓力是的反作用力，故的方向沿徑向指向圓心，大小為.

當時，保持恒定，故渦旋電場不再存在，切向加速度隨之消失，此時小珠將繞細環(huán)做勻速圓周運動，其速度.

此時小珠所受的洛侖茲力為（在上述公式中取）.

此時小珠所需的向心力為（在的公式中取，）

.

可見，仍有一半被抵消，同樣仍成立，故.

在電磁感應現(xiàn)象中，若以導體為載體，則計算的多為感應電動勢，同時伴隨電路問題的研究；而撇開導體，研究的往往是感生電場，同時伴隨著帶電粒子在電場作用下的運動，而這種運動又是以洛侖茲力為背景的.

感生電動勢與感生電場既相關聯(lián)，又有差別，讀者應注意對這兩類問題進行專題分析與研究，熟練甄別其不同之處.