Question

設函數(shù)f_n（x）=xⁿ（1-x）³在[

1

4

，1]上的最大值為a_n（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：對任何正整數(shù)n（n≥2），都有a_n≤

1

(n+3)2

成立；
（Ⅲ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：對任意正整數(shù)n，都有S_n≤

91

256

成立．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）f_n′（x）=x^n-1（1-x）²[n-（n+3）x]，由

f

′ n

(x)=0，知x=1或x=

n

n+3

，由導數(shù)性質(zhì)知f_n（x）在x=

n

n+3

處取得最大值，由此能求出an=

27nn

(n+3)n+3

，n∈N^*．
（Ⅱ）當n≥2時，欲證

27nn

(n+3)n+3

≤

1

(n+3)2

，只需證明（n+3）（1+

3

n

）ⁿ≥27即可．
（Ⅲ）當n=1時，結(jié)論成立，當n≥2時，由（II）的結(jié)論利用放縮法能證明對任意正整數(shù)n，都有S_n≤

91

256

成立．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：∵f_n（x）=xⁿ（1-x）³，
∴f′n(x)=nxn-1(1-x)3-3xn(1-x)2=xn-1(1-x)2[n(1-x)-3x]
=x^n-1（1-x）²[n-（n+3）x]，
當x∈[

1

4

，1]時，由

f

′ n

(x)=0，知x=1或x=

n

n+3

，
當n=1時，則

n

n+3

=

1

4

，
x∈[

1

4

，1]時，

f

′ n

(x)＜0，fn(x)=xn(1-x)3在[

1

4

，1]上單調(diào)遞減，
∴a1=f1(

1

4

)=

1

4

×(1-

1

4

)3=

33

44

當n≥2時，

n

n+3

∈(

1

4

，1)，x∈[

1

4

，

n

n+3

)時，

f

′ n

(x)＞0，x∈(

n

n+3

，1)時，

f

′ n

(x)＜0，
∴f_n（x）在x=

n

n+3

處取得最大值，
即an=(

n

n+3

)n(

3

n+3

)3=

27nn

(n+3)n+3

，
∴綜上所述，an=

27nn

(n+3)n+3

，n∈N^*．
（Ⅱ）當n≥2時，欲證

27nn

(n+3)n+3

≤

1

(n+3)2

，
只需證明（n+3）（1+

3

n

）ⁿ≥27，
∵(1+

3

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

3

n

)+

C

2 n

(

3

n

)2+…+

C

n n

(

3

n

)n
≥1+3+

n(n+1)

2

•

9

n2

=4+

9

2

(1-

1

n

)
≥4+

9

2

(1-

1

2

)=

25

4

．
∴（n+3）（1+

3

n

）ⁿ≥5×

25

4

＞27．
∴當n≥2時，都有an≤

1

(n+3)2

成立．
（Ⅲ）當n=1時，結(jié)論成立，
當n≥2時，由（II）知Sn=

27

256

+a2+a3+a4+…+an＜

27

256

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+3)2

＜

27

256

+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+2

-

1

n+3

)＜

27

256

+

1

4

=

91

256

．
所以，對任意正整數(shù)n，都有Sn＜

91

256

成立．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)的性質(zhì)和放縮法的合理運用．