【題目】已知函數(shù)f(x)=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直,函數(shù)g(x)=f(x)+ x2﹣bx.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)設(shè)x1 , x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個極值點(diǎn),若b≥ ,求g(x1)﹣g(x2)的最小值.

【答案】
(1)解:∵f(x)=x+alnx,

∴f′(x)=1+ ,

∵f(x)在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直,

∴k=f′(x)|x=1=1+a=2,

解得a=1


(2)解:∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,

∴g′(x)= ,x>0,

由題意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,

即x+ +1﹣b<0有解,

∵定義域x>0,

∴x+ ≥2,

x+ <b﹣1有解,

只需要x+ 的最小值小于b﹣1,

∴2<b﹣1,解得實數(shù)b的取值范圍是{b|b>3}


(3)解:∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,

∴g′(x)= =0,∴x1+x2=b﹣1,x1x2=1

∴g(x1)﹣g(x2)=ln

∵0<x1<x2

∴設(shè)t= ,0<t<1,

令h(t)=lnt﹣ (t﹣ ),0<t<1,

則h′(t)=﹣ <0,

∴h(t)在(0,1)上單調(diào)遞減,

又∵b≥ ,∴(b﹣1)2

∵0<t<1,∴4t2﹣17t+4≥0,

∴0<t≤ ,h(t)≥h( )= ﹣2ln2,

故所求的最小值為 ﹣2ln2


【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出實數(shù)a的值.(2)由題意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,即x+ +1﹣b<0有解,由此能求出實數(shù)b的取值范圍.(3)g(x1)﹣g(x2)=ln ),由此利用構(gòu)造成法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g(x1)﹣g(x2)的最小值.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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②f(x2)在[1, ]上具有性質(zhì)P;
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④對任意x1 , x2 , x3 , x4∈[1,3],有 [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
其中真命題的序號是(
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A.1
B.2
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