Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為（x-2）²+y²=4，直線l的方程為x+$\sqrt{3}$y-12=0，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）分別寫出曲線C與直線l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在極坐標(biāo)中，極角為θ（θ∈（0，$\frac{π}{2}$））的射線m與曲線C，直線l分別交于A、B兩點（A異于極點O），求$\frac{|OA|}{|OB|}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化方法，分別寫出曲線C與直線l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）由題意|OA|=4cosθ，|OB|=$\frac{12}{cosθ+\sqrt{3}sinθ}$，利用三角函數(shù)知識，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的方程為（x-2）²+y²=4，即x²+y²=4x，極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ；
直線l的方程為x+$\sqrt{3}$y-12=0，極坐標(biāo)方程為ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ-12=0；
（Ⅱ）由題意|OA|=4cosθ，|OB|=$\frac{12}{cosθ+\sqrt{3}sinθ}$，
∴$\frac{|OA|}{|OB|}$=$\frac{cosθ（cosθ+\sqrt{3}sinθ）}{3}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$），
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2θ+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7}{6}$π），
∴sin（2θ+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$1]，
∴$\frac{|OA|}{|OB|}$的最大值為$\frac{1}{2}$，此時$θ=\frac{π}{6}$．

點評 本題考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查極坐標(biāo)方程的運用，考查三角函數(shù)知識，屬于中檔題．