Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀(guān)察程序框圖，若k=5，k=10時(shí)，分別有S=

5

11

和S=

10

21

（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）令b_n=2^a_n，求b₁+b₂+…+b_m的值．

Answer 1

分析：（1）經(jīng)過(guò)分析，程序框圖為當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照框圖題意分析求出{a_n}的通項(xiàng)．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到b_n=2^an=2^2n-1，然后代入求b₁+b₂+…+b_m的值即可

解答：解：（1）由框圖可知
S=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

akak+1

∵a_i+1=a_i+d，∴{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則有

1

akak+1

=

1

d

(

1

ak

-

1

ak+1

)
∴S=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

ak

-

1

ak+1

)=

1

d

(

1

a1

-

1

ak+1

)，
由題意可知，k=5時(shí)，S=

5

11

；k=10時(shí)，S=

10

21

∴

1 d ( 1 a1 - 1 a6 )= 5 11   1 d ( 1 a1 - 1 a11 )= 10 21

得

a1=1 d=2

或

a1=-1 d=-2

（舍去）
故a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
（2）由（1）可得：b_n=2^an=2^2n-1
∴b₁+b₂++b_m=2¹+2³++2^2m-1
=

2(1-4m)

1-4

=

2

3

(4m-1)

點(diǎn)評(píng)：本題考查程序框圖，數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示方法，數(shù)列的求和，通過(guò)對(duì)知識(shí)的熟練把握，分別進(jìn)行求值，屬于基礎(chǔ)題．