精英家教網(wǎng)設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點P(3，
3
4
7
)，且離心率e=
7
4
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點A（2，0）的動直線AB交橢圓于點M、N，（其中點N位于點A、B之間），且交直線l：x=8于點B（如圖）．證明：|
MA
|•|
NB
|=|
AN
|•|
MB
|．
分析：（Ⅰ）由已知，得
b2
a2
=1-e2=
9
16
，故可設所求橢圓方程為
x2
16
+
y2
9
=m，將點P(3，
3
4
7
)的坐標代入上式，得m=1．由此得到所求橢圓C的方程．
（Ⅱ）設M（x1，y1），N（x2，y2），要證原等式成立，只要證
|
MA
|
|
MB
|
=
|
AN
|
|
NB
|
?
2-x1
8-x1
=
x2-2
8-x2
?5（x1+x2）-x1x2=16．
解答：解：（Ⅰ）　由已知，得　
b2
a2
=1-e2=
9
16
，故可設所求橢圓方程為
x2
16
+
y2
9
=m，
將點P(3，
3
4
7
)的坐標代入上式，得　m=1．
∴所求橢圓C的方程為：
x2
16
+
y2
9
=1；（5分）
（Ⅱ）　設M（x1，y1），N（x2，y2），
要證原等式成立，只要證
|
MA
|
|
MB
|
=
|
AN
|
|
NB
|
?
2-x1
8-x1
=
x2-2
8-x2
?5（x1+x2）-x1x2=16．①（8分）
以下證明①式成立．
證明：設MB：y=k（x-2），由
y=k(x-2)
x2
16
+
y2
9
=1
?（9+16k2）x2-64k2x+64k2-144=0
由韋達定理，得　x1+x2=
64k2
9+16k2
，x1x2=
64k2-144
9+16k2
，（11分）
∴5(x1+x2)-x1x2=5×
64k2
9+16k2
-
64k2-144
9+16k2
=
16(9+16k2)
9+16k2
=16
于是，①式得證．
∴|
MA
|•|
NB
|=|
AN
|•|
MB
|．（13分）
點評：本題考查橢圓方程的求法和證明|
MA
|•|
NB
|=|
AN
|•|
MB
|．解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用和分析法證明的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設N與M關于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標；
（3）設過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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