Question

（2012•鹽城一模）設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準線的距離的最小值

5

+2

．

Answer 1

分析：根據橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），可得

1

a2

+

4

b2

=1，利用橢圓幾何量之間的關系，設

a2

c

=

1

t

，等式可轉化為t²a⁴-（t²+1）a²+5=0，利用判別式，即可求得橢圓的中心到準線的距離的最小值．

解答：解：設橢圓的焦距為2c，同時可設

a2

c

=

1

t

，∴c=ta²
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），
∴

1

a2

+

4

b2

=1
∴b²+4a²=a²b²
∴5a²-c²=a²（a²-c²）
∴5a²-（ta²）²=a²[a²-（ta²）²]
∴t²a⁴-（t²+1）a²+5=0
∴△=（t²+1）²-20t²≥0時，方程有解
∴t2-2

5

t+1≥0
∴t≥

5

+2，或0＜t≤

5

-2
∴0＜

1

t

≤

5

-2，或

1

t

≥ 

5

+2
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），
∴橢圓的中心到準線x=

a2

c

＞1
∴橢圓的中心到準線的距離的最小值

5

+2
故答案為：

5

+2

點評：本題綜合考查橢圓的標準方程與性質，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，有一定的技巧．