Question

（09年江寧中學三月）（16分）已知函數(shù)，（為常數(shù)）．函數(shù)定義為：對每個給定的實數(shù)，

（1）求對所有實數(shù)成立的充分必要條件（用表示）；

（2）設(shè)是兩個實數(shù)，滿足，且．若，求證：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為（閉區(qū)間的長度定義為）

Answer 1

解析：（1）由的定義可知，（對所有實數(shù)）等價于

（對所有實數(shù)）這又等價于，即

對所有實數(shù)均成立.        （*）

由于的最大值為，

故（*）等價于，即，這就是所求的充分必要條件

（2）分兩種情形討論

     （i）當時，由（1）知（對所有實數(shù)）

則由及易知，

再由的單調(diào)性可知，

函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度

為（參見示意圖1）

 

 

（ii）時，不妨設(shè)，則，于是

   當時，有，從而；

當時，有

從而  ；

當時，，及，由方程

      解得圖象交點的橫坐標為

                          ⑴

 

顯然，

這表明在與之間。由⑴易知

 

綜上可知，在區(qū)間上，   （參見示意圖2）

 

故由函數(shù)及的單調(diào)性可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為，由于，即，得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

綜合（i）（ii）可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為。