已知橢圓的離心率為，且過點，記橢圓的左頂點為A．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)垂直于y軸的直線l交橢圓于B，C兩點，試求△ABC面積的最大值；
（3）過點A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交橢圓于D，E兩點，且k1k2=2，求證：直線DE恒過一個定點．

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點P（），建立方程，求出幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（2）設(shè)B（m，n），C（-m，n），則S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC面積的最大值；
（3）設(shè)AB、AC的方程，代入橢圓方程可求B、C的坐標(biāo)，從而可得直線BC的方程，整理并令y=0，即可證得直線BC恒過定點．
解答：（1）解：∵橢圓的離心率為，且過點，
∴，解得，
所以橢圓C的方程為x2+2y2=1…4分
（2）解：設(shè)B（m，n），C（-m，n），則S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，…6分
又|m|•|n|，所以|m|•|n|，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號…8分
從而S△ABC≤，即△ABC面積的最大值為…9分
（3）證明：因為A（-1，0），所以AD：y=k1（x+1），AE：y=k2（x+1），
由，消去y，得，解得x=-1或x=，
∴
同理E（）
∵k1k2=2，∴…12分
∴直線DE的方程為，
即y-，即y=…14分
所以，
則由，得直線DE恒過定點…16分．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，考查直線恒過定點，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　　）
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準(zhǔn)線方程為x=±8，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準(zhǔn)線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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