Question

12．如圖，GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線，某公司準(zhǔn)備在GH上的一點(diǎn)B的正北方向的A處建一倉庫，設(shè)AB=ykm，并在公路北側(cè)建造邊長為xkm的正方形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF（其中邊EF在GH上），現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出定義域；
（2）如果中轉(zhuǎn)站四堵圍墻造價(jià)為1萬元/km，兩條道路造價(jià)為3萬元/km，問：x取何值時(shí)，該公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價(jià)M最低？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得AB=y且AC=y-1，在Rt△BCF中，BC=2CF=2x．然后在△ABC中利用余弦定理AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cosB的式子建立關(guān)于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式以及函數(shù)的定義域；
（2）由（1）求出的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意得出總造價(jià)M=$\frac{12{x}^{2}-3}{x-1}$-3+4x．然后換元：令x-1=t，化簡得到M=16t+$\frac{9}{t}$+25，利用基本不等式算出當(dāng)t=$\frac{3}{4}$時(shí)，M的最小值為49．由此即可得出當(dāng)總造價(jià)M最低時(shí)，相應(yīng)的x值．

解答 解：（1）∵AB=y，AB=AC+1，∴AC=y-1．
∵在Rt△BCF中，CF=x，∠ABC=60°，
∴∠CBF=30°，可得BC=2x．
由于2x+y-1＞y，得x$＞\frac{1}{2}$．
在△ABC中，根據(jù)余弦定理AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cosB，
可得（y-1）²=y²+（2x）²-2y•2x•cos60°，
即（y-1）²=y²+4x²-2xy，解得y=$\frac{4{x}^{2}-1}{2（x-1）}$．
∵y＞0且x$＞\frac{1}{2}$，∴x＞1．
可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=$\frac{4{x}^{2}-1}{2（x-1）}$，（x＞1）．函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（2）由題意，可得總造價(jià)M=3[y+（y-1）]+4x=$\frac{12{x}^{2}-3}{x-1}$-3+4x．
令x-1=t，則M=$\frac{12（t+1）^{2}-3}{t}$-3+4（t+1）=16t+$\frac{9}{t}$+25≥$2\sqrt{16t•\frac{9}{t}}+25$=49，
當(dāng)且僅當(dāng)16t=$\frac{9}{t}$，即t=$\frac{3}{4}$時(shí)，M的最小值為49．
此時(shí)x=t+1=$\frac{7}{4}$，y=$\frac{4{x}^{2}-1}{2（x-1）}$=$\frac{15}{2}$．
答：當(dāng)x的值為$\frac{7}{4}$時(shí)，該公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和道路總造價(jià)M最低．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了運(yùn)算基本不等式求最值和余弦定理及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．