Question

已知橢圓方程是

x2

10

+

y2

5

=1，雙曲線E的漸近線方程是3x+4y=0，在下列條件下求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）雙曲線E以橢圓的焦點(diǎn)為其頂點(diǎn)；
（2）雙曲線E以橢圓的頂點(diǎn)為其焦點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先求出雙曲線E的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出a的值，再根據(jù)

b

a

=

3

4

求出b的值，從而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出c的值，結(jié)合

b

a

=

3

4

，c²=a²+b²，得到方程組，解出即可．

解答： 解：由題意得：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是：（-

5

，0），（

5

，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（-

10

，0），（

10

，0），
（1）雙曲線E的頂點(diǎn)是：（-

5

，0），（

5

，0），
∴a=

5

，∴

b

5

=

3

4

，∴b=

3 5

4

，b²=

45

16

，
∴雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是：

x2

5

-

y2

45 16

=1；
（2）雙曲線E的焦點(diǎn)是：（-

10

，0），（

10

，0），
∴c=

10

，又∵

b

a

=

3

4

，
∴

c= 10 b a = 3 4 c2=a2+b2

，解得：

a2= 160 25 b2= 18 5

，
∴雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是：

x2

160 25

-

y2

18 5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的性質(zhì)，考查了雙曲線的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．