Question

已知函數(shù)f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinwx），其中ω＞0，又函數(shù)f（x）的圖象的任意兩中心對稱點(diǎn)間的最小距離為

3π

2

．
（1）求ω的值；
（2）設(shè)α是第一象限角，且f(

3α

2

+

π

2

)=

23

26

，求

sin(α+ π 4 )

cos(4π+2α)

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象的對稱性求出函數(shù)的周期，進(jìn)一步確定ω的值．
（2）利用（1）的結(jié)論，先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式f(

3α

2

+

π

2

)=

23

26

，求出cosα=

5

13

sinα=

12

13

，再求出結(jié)果．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinωx），其中w＞0，又函數(shù)f（x）的圖象的任意兩中心對稱點(diǎn)間的最小距離為

3π

2

．
則：函數(shù)的最小正周期為：3π，
f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinωx）=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，
由于ω＞0，
所以：2ω=

2π

3π

，ω=

1

3

．
（2）f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinωx）=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

，
整理得：f(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)+

1

2

，
由于α是第一象限角，f(

3α

2

+

π

2

)=

23

26

，
則：f(

3α

2

+

π

2

)=cosα+

1

2

=

23

26

，
解得：cosα=

5

13

，sinα=

12

13

，

sin(α+ π 4 )

cos(4π+2α)

=

2

2

•

1

sinα-cosα

=

13 2

14

．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的周期，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)的求值．屬于基礎(chǔ)題型．