Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）與x軸相切，若直線y=c與y=c+5分別交f（x）的圖象于A，B，C，D四點，且四邊形ABCD的面積為25，則正實數(shù)c的值為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的圖象與x軸相切，可得：△=a²-4b=0，由四邊形ABCD是一個以AB，CD為兩底，高為5的梯形，S=25=

1

2

（AB+CD）×5，結(jié)合韋達定理，構(gòu)造關(guān)于c的方程，解方程可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的圖象與x軸相切，
∴△=a²-4b=0，
設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象與直線y=c交于A，B兩點，
即A，B兩點的橫坐標(biāo)為方程：x²+ax+b-c=0的兩根，
故AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

a2-4b+4c

=2

c

，
設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象與直線y=c+5交于C，D兩點，
同時可得：CD=2

c+5

，
此時四邊形ABCD是一個以AB，CD為兩底，高為5的梯形，
S=25=

1

2

（AB+CD）×5=（

c

+

c+5

）×5，
即

c

+

c+5

=5，
解得：c=4，
故答案為：4

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，其中由韋達定理及四邊形ABCD是一個以AB，CD為兩底，高為5的梯形，構(gòu)造關(guān)于c的方程是解答的關(guān)鍵．