已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量
m
=（1，2），
n
=（cos2A，cos2
A
2
），且
m
•
n
=1．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=2a=2
3
，求證：△ABC為等邊三角形．
考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算
專題：解三角形
分析：（1）利用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積的運算求得關(guān)于cosA的一元二次方程求得cosA的值，則A可求得．
（2）根據(jù)已知條件利用余弦定理可求得a的值，b和c的關(guān)系，代入原式可求得b和c，進而判斷出a=b=c，即三角形為等邊三角形．
解答： 解：（1）由
m
=(1，2)，
n
=(cos2A，cos2
A
2
)，
得
m
•
n
=cos2A+2cos2
A
2
=2cos2A-1+cosA+1=2cos2A+cosA，
又因為
m
•
n
=1，
所以，2cos2A+cosA=1，解得cosA=
1
2
或cosA=-1，
因為0＜A＜π，
所以A=
π
3
，
（2）在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA且a=
3

所以，(
3
)2=b2+c2-2bc•
1
2
=b2+c2-bc①，
又b+c=2
3
，
∴b=2
3
-c，
代入①整理得c2-2
3
c+3=0，解得c=
3
，
∴b=
3
，
于是a=b=c=
3
，
即△ABC為等邊三角形．
點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用．作為解三角形重要定理，應(yīng)該熟練記憶余弦定理及其變形公式．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a8-
1
2
a11=6，則數(shù)列{an}前9項和S9等于（　�。�
A、108B、72C、48D、24

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：“直線x+y-a=0與圓（x-1）2+y2=1有公共點”，命題q：函數(shù)f（x）=ax2+ax+1沒有零點，若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=10n-n2，數(shù)列{bn}的每一項都有bn=|an|，求數(shù)列{bn}的前10項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：（x-1）2+（y-1）2=2經(jīng)過橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點F和上頂點B．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）過原點O的射線l與橢圓Γ在第一象限的交點為Q，與圓C的交點為P，M為OP的中點，求
OM
•
OQ
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c均為實數(shù)，且a≠1，c≠0．
（1）求證：數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)a=c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；
（3）若0＜an＜1對任意的n∈N*成立，求證：0＜c≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1=1，Sn=
n
n+2
an+1，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求數(shù)列{Sn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)Tn=S1+S2+S3+…+Sn，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，2Sn=nan+1-
1
3
n3-n-
2
3
．
（Ⅰ）求an+3；   
（Ⅱ）證明：?n∈N*，有
n
i=1
1
ai
＜
7
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D為AC的中點，AB⊥PD．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABC
（Ⅱ）如果三棱錐P-BCD的體積為3，求PA．

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