Question

已知f（x）=

a+x2+2x，(x＜0) f(x-1)，(x≥0)

，且函數(shù)y=f（x）+x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，1]
• B、（0，1]
• C、（-∞，0]
• D、（-∞，2]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=f（x-1），可得當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在[-1，0）重復(fù)的周期函數(shù)，再根據(jù)x∈[-1，0）時(shí)，y=a+x²+2x=-1+a+（x+1）²，對(duì)稱軸x=-1，頂點(diǎn)（-1，-1+a），進(jìn)而可進(jìn)行分類：（1）如果a＞1，函數(shù)y=f（x）-x至多有2個(gè)不同的零點(diǎn)；（2）如果a=1，則y有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0），有一個(gè)零點(diǎn)在（-∞，-1），一個(gè)零點(diǎn)是原點(diǎn)；（3）如果a＜1，則有一個(gè)零點(diǎn)在（-∞，-1），y右邊有兩個(gè)零點(diǎn)，故可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f（x）=f（x-1），所以所有大于等于0的x代入得到的f（x）
相當(dāng)于在[-1，0）重復(fù)的周期函數(shù)，
x∈[-1，0）時(shí)，y=a+x²+2x=-1+a+（x+1）²，對(duì)稱軸x=-1，頂點(diǎn)（-1，-1+a）
（1）如果a＞1，函數(shù)y=f（x）+x至多有2個(gè)不同的零點(diǎn)；
（2）如果a=1，則y有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0），有一個(gè)零點(diǎn)在（-∞，-1），一個(gè)零點(diǎn)是原點(diǎn)；
（3）如果a＜1，則有一個(gè)零點(diǎn)在（-∞，-1），y軸右邊有兩個(gè)零點(diǎn)，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)的周期性，有一定的難度．