Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=3，公差d≠0，其前n項和為S_n，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知條件列式求出等差數(shù)列的公差，然后直接代入等差數(shù)列的通項公式求解；
（Ⅱ）求出等差數(shù)列的前n項和，然后利用裂項相消法證明

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

＜

3

4

．

解答：解：由a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，得a42=a1a13，
即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，所以a12+6a1d+9d2=a12+12a1d．
9d²=6a₁d，a1=

3

2

d．則d=

2

3

a1=

2

3

×3=2．
（Ⅰ）a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=3n+n2-n=n(n+2)．
則

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
所以

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

＜

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項和公式，訓(xùn)練了利用裂項相消法求數(shù)列的和，考查了利用放縮法證明不等式，是中檔題．