Question

4．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左，右焦點，點M在E上，MF₁與x軸垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，則E的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由條件MF₁⊥MF₂，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，列出關(guān)系式，從而可求離心率．

解答 解：由題意，M為雙曲線左支上的點，
則丨MF₁丨=$\frac{^{2}}{a}$，丨MF₂丨=$\sqrt{4{c}^{2}+（\frac{^{2}}{a}）^{2}}$，
∴sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{\frac{^{2}}{a}}{\sqrt{4{c}^{2}+\frac{^{4}}{{a}^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，
可得：2b⁴=a²c²，即$\sqrt{2}$b²=ac，又c²=a²+b²，
可得$\sqrt{2}$e²-e-$\sqrt{2}$=0，
e＞1，解得e=$\sqrt{2}$．
故選A．

點評 本題考查雙曲線的定義及離心率的求解，關(guān)鍵是找出幾何量之間的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．