Question

14．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AC與BD相交于點E，AE=$\frac{3}{5}$AC，∠ABD的角平分線交AC于點F．
（Ⅰ）求$\frac{CD}{AB}$的值；
（Ⅱ）若AF=$\frac{1}{2}$FC，求證：BD+DC=2AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用AB∥DC，$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{2}{3}$，即可求$\frac{CD}{AB}$的值；
（Ⅱ）證明四邊形CDGH是平行四邊形，DC=GH，可得BD+DC=BG+GH=BH．結(jié)合AF=$\frac{1}{2}$FC，證明：BD+DC=2AB．

解答 （Ⅰ）解：∵AE=$\frac{3}{5}$AC，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{3}{2}$，
∵AB∥DC，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）證明：分別過點D，C作BF的平行線交AB的延長線于G，H，則∠ABF=∠BGD，∠EBF=∠BDG．
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF=∠EBF，
∴∠BGD=∠BDG，
∴BD=BG．
∵DG∥CH，DC∥GH，
∴四邊形CDGH是平行四邊形，
∴DC=GH，
∴BD+DC=BG+GH=BH．
∵BF∥CH，
∴$\frac{AB}{BH}=\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BH=2AB，
∴BD+DC=2AB．

點評 本題考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．