已知函數(shù)(
是常數(shù))在
處的切線方程為
,且
.
(1)求常數(shù)的值;
(2)若函數(shù)(
)在區(qū)間
內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍.
(1),
,
(2)
解析試題分析:(1)在處的切線切線斜率為
,由導數(shù)的幾何意義可知
,將
代入切線方程可得
即
又因為
,解以上三個方程組成的方程組可得
的值。(2)由(1)可知函數(shù)
的解析式,從而可得函數(shù)
解析式。將其求導可得
,令
,可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)
在
內(nèi)有極值,即
應有2個根(判別式應大于0),但在
內(nèi)至少有一個根(故應分兩種情況討論)。因為
,所以
在
內(nèi)有一個根時應有
,
在
內(nèi)有兩個根時應因為
,則
且頂點縱坐標小于0
(1)由題設知,的定義域為
,
,
因為在
處的切線方程為
,
所以,且
,即
,且
,
又 ,解得
,
,
(2)由(Ⅰ)知
因此,
所以
令.
(。┊敽瘮(shù)在
內(nèi)有一個極值時,
在
內(nèi)有且僅有一個根,即
在
內(nèi)有且僅有一個根,又因為
,當
,即
時,
在
內(nèi)有且僅有一個根
,當
時,應有
,即
,解得
,所以有
.
(ⅱ)當函數(shù)在
內(nèi)有兩個極值時,
在
內(nèi)有兩個根,即二次函數(shù)
在
內(nèi)有兩個不等根,
所以,解得
.
綜上,實數(shù)的取值范圍是
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)(
為常數(shù))的圖像與
軸交于點
,曲線
在點
處的切線斜率為
.
(1)求的值及函數(shù)
的極值;
(2)證明:當時,
(3)證明:對任意給定的正數(shù),總存在
,使得當
時,恒有
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax2+bln x在x=1處有極值.
(1)求a,b的值;
(2)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)證明:曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=(ax+1)ex.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當a>0時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)
的取值范圍;
(3)設函數(shù),若在
上至少存在一點
,使得
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
用總長為14.8米的鋼條制成一個長方體容器的框架,如果所制的容器的底面的長比寬多0.5米,那么高為多少時容器的容器最大?并求出它的最大容積.
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已知函數(shù).
(1)當a=1時,求曲線在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)當a>0時,若f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-2,求a的值;
(3)若對任意,且
恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(其中
),
為f(x)的導函數(shù).
(1)求證:曲線y=在點(1,
)處的切線不過點(2,0);
(2)若在區(qū)間中存在
,使得
,求
的取值范圍;
(3)若,試證明:對任意
,
恒成立.
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