Question

已知函數(shù)和點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、．
（Ⅰ）設(shè)，試求函數(shù)的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在，使得、與三點(diǎn)共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)總存在個(gè)實(shí)數(shù)，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的表達(dá)式為．
（Ⅱ）存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且 ．
（Ⅲ）的最大值為．

試題分析：（Ⅰ）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，
 ，
∴切線的方程為：，
又切線過點(diǎn)，
有，即， （1）
同理，由切線也過點(diǎn)，得．（2）
由（1）、（2），可得是方程的兩根，
 （ * ）

，
把（ * ）式代入,得,
因此，函數(shù)的表達(dá)式為．
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)、與共線時(shí)，，
＝，即＝，
化簡，得，
，．   （3）
把（*）式代入（3），解得．
存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且 ．
（Ⅲ）解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)，
，
則．
依題意，不等式對一切的正整數(shù)恒成立，
，
即對一切的正整數(shù)恒成立．
，
，
．
由于為正整數(shù)，．
又當(dāng)時(shí)，存在，，對所有的滿足條件．
因此，的最大值為．
解法：依題意，當(dāng)區(qū)間的長度最小時(shí)，
得到的最大值，即是所求值．
，長度最小的區(qū)間為
當(dāng)時(shí)，與解法相同分析，得，
解得．           后面解題步驟與解法相同（略）．
點(diǎn)評：難題，切線的斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值。不等式恒成立問題，常常轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題。（III）小題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值），進(jìn)一步確定得到參數(shù)的范圍。