Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求的最大值；

（2）若對，總存在，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可求得函數(shù)的最大值；

（2）由題意可知，對函數(shù)求導，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，進而可求得實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，，

當時，；當時，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即；

（2）由題意可知，即.

，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當時，，即.

①當時，即當時，對任意的恒成立，

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，

，解得，此時；

②當時，即當時，對任意的恒成立，

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，

，解得，此時；

③當時，即當時，則存在，使得，

且當時，；當時，.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，，.

當時，，解得；

當時，，解得，此時.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.