Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a${\;}_{3}^{2}$=9a₂a₆，設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，則數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和為-$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 通過聯(lián)立2a₁+3a₂=1、a${\;}_{3}^{2}$=9a₂a₆，計(jì)算可知q=$\frac{1}{3}$、a₁=$\frac{1}{3}$，進(jìn)而可知b_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，裂項(xiàng)可知$\frac{1}{_{n}}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：依題意，a_n＞0，且q＞0，
∵2a₁+3a₂=1，a${\;}_{3}^{2}$=9a₂a₆，
∴2a₁+3a₁q=1，$（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}$=9（a₁q）（a₁q⁵），
解得：q=$\frac{1}{3}$，a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$，log₃a_n=-n，
又∵b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則所求值為-2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=-2（1-$\frac{1}{n+1}$）=-$\frac{2n}{n+1}$，
故答案為：-$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．