Question

在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，|OA|＝8，|OB|＝6．已知P是Rt△ABO的內(nèi)切圓上的任意一點，求點P到各頂點A，B，O距離的平方和的最大值與最小值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：如圖所示，以O(shè)A，OB所在的直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則有A(8，0)，B(0，6)．

　　在Rt△ABO中，由勾股定理，得|AB|＝10．

　　設(shè)圓的半徑長為r，

　　由面積公式，可得S_△ABO＝|OB|·|OA|＝(|OA|·r＋|OB|·r＋|AB|·r)，

　　即48＝24r，解得r＝2．

　　所以圓的方程為(x－2)²＋(y－2)²＝4．

　　設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，b)(0≤a≤4，0≤b≤4)，

　　則有(a－2)²＋(b－2)²＝4，即a²＋b²＝4a＋4b－4．

　　所以d²＝|PA|²＋|PB|²＋|OP|²＝(a－8)²＋b²＋a²＋(b－6)²＋a²＋b²＝88－4a(0≤a≤4)．

　　所以(d²)_max＝88－4×0＝88，(d²)_min＝88－4×4＝72．

　　點評：在解平面幾何題時，若遇到一些復(fù)雜的問題，可建立平面直角坐標(biāo)系，簡化思路．