在已知拋物線y=x2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N關(guān)于直線l:y=-kx+對(duì)稱(chēng),求k的取值范圍.

答案:
解析:

  解:方法一:由題意知k≠0.

  設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2)是曲線上關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),

  則MN的方程可設(shè)為y=x+b,

  代入y=x2

  得x2x-b=0,且△=+4b>0.①

  又x1+x2,中點(diǎn)x0,y0+b,

  ∵(x0,y0)在直線l:y=-kx+上,

  ∴+b=-k·

  ∴b=4.②

 、诖擘,得+16>0.

  ∴<16,即k2

  ∴k>或k<

  方法二:設(shè)M(x1,x12)、N(x2,x22)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),且MN⊥l.

  ∴,即x1+x2

  又MN的中點(diǎn)在l上,

  ∴=-k·=-k·=4.

  ∵中點(diǎn)必在拋物線開(kāi)口內(nèi),

  ∴>()2,即4>()2

  ∴k2,即k>或k<

  解析:曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng),求參數(shù)的取值范圍.這類(lèi)問(wèn)題在橢圓、雙曲線中都曾出現(xiàn)過(guò),一般說(shuō)來(lái),導(dǎo)出關(guān)于待定系數(shù)不等式的方法很多,如在橢圓中,可以利用弦中點(diǎn)(x0,y0)在橢圓內(nèi)部,則<1,得到與參數(shù)有關(guān)的不等式.但這類(lèi)問(wèn)題最普遍的還是利用△>0.具體方法如下:設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)是曲線C上關(guān)于直線y=kx+b對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),則P、Q的方程為y=x+m.代入曲線C的方程,得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根,故△>0,從而求得k(或b)的范圍.


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