Question

已知橢圓．
（1）直線AB過橢圓Γ的中心交橢圓于A、B兩點，C是它的右頂點，當直線AB的斜率為1時，求△ABC的面積；
（2）設(shè)直線l：y=kx+2與橢圓Γ交于P、Q兩點，且線段PQ的垂直平分線過橢圓Γ與y軸負半軸的交點D，求實數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意寫出C點坐標，直線AB方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可求得交點A、B的縱坐標，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，代入數(shù)值即可求得面積；
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程消掉y得x的二次方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點H（x，y），由韋達定理及中點坐標公式可用k表示出中點坐標，由垂直可得
k_DH•k_PQ=-1，解出即得k值，注意檢驗△＞0；
解答：解：（1）依題意，，，直線AB的方程為y=x，
由，得，
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），∵，
∴；
（2）由得（3k²+1）x²+12kx=0，△=（12k）²≥0，
依題意，k≠0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點H（x，y），
則，，D（0，-2），
由k_DH•k_PQ=-1，得，解得．
所以實數(shù)k的值為．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、三角形面積公式，韋達定理、判別式是解決該類題目的常用知識，要熟練掌握．