已知f(n)=1+
1
23
+
1
33
+
1
43
…+
1
n3
，g(n)=
3
2
-
1
2n2
，n∈N*．
（1）當(dāng)n=1，2，3時，試比較f（n）與g（n）的大小關(guān)系；
（2）猜想f（n）與g（n）的大小關(guān)系，并給出證明．
（1）當(dāng)n=1時，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；
當(dāng)n=2時，f(2)=
9
8
，g(2)=
11
8
，
所以f（2）＜g（2）；
當(dāng)n=3時，f(3)=
251
216
，g(3)=
312
216
，
所以f（3）＜g（3）．
（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：
①當(dāng)n=1，2，3時，不等式顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時不等式成立，
即1+
1
23
+
1
33
+
1
43
+
1
k3
＜
3
2
-
1
2k2
，
那么，當(dāng)n=k+1時，f(k+1)=f(k)+
1
(k+1)3
＜
3
2
-
1
2k2
+
1
(k+1)3
，
因為
1
2(k+1)2
-(
1
2k2
-
1
(k+1)3
)=
k+3
2(k+1)3
-
1
2k2
=
-3k-1
2(k+1)3k2
＜0，
所以f(k+1)＜
3
2
-
1
2(k+1)2
=g(k+1)．
由①、②可知，對一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為（0，+∞），且對任意的正實數(shù)x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f(
1
2
)的值，試判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}，它的前n項和是Sn，若a1=3，且f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1（n≥2，n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)M，使2n•a1•a2…an≥M•
2n+3
•(2a1-1)•(2a2-1)…(2an-1)對于一切正整數(shù)n均成立？若存在，求出M的范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在自然數(shù)集N上定義一個函數(shù)y=f（x），已知f（1）+f（2）=5．當(dāng)x為奇數(shù)時，f（x+1）-f（x）=1，當(dāng)x為偶數(shù)時f（x+1）-f（x）=3．
（1）求證：f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N+）成等差數(shù)列．
（2）求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•嘉定區(qū)一模）已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
3n-1
(n∈N)，則f（n+1）-f（n）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(n)=log2(1+
1n
)(n∈N+)，對正整數(shù)k，如果f（n）滿足：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（k+1）為整數(shù)，則稱k為“好數(shù)”，那么區(qū)間[1，129]內(nèi)所有“好數(shù)”的和S=
240
240
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為（0，+∞），且對任意的正實數(shù)x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f(
12
)的值，試判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}，它的前n項和是Sn，若a1=3，且對任意的正整數(shù)n，均滿足f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1，求數(shù)列{an}的通項公式．

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