Question

已知中心在原點的橢圓C：+=1的焦點為F₁（0，3），M（x，4）（x＞0）橢圓C上一點，△MOF₁的面積為．
（1）求橢圓C的方程．
（2）是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相較于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線l的方程，請說明理由．．

Answer 1

解：（1）因為橢圓C的焦點為F₁（0，3），∴b²=a²+9，則橢圓C的方程為
∵M（x，4）（x＞0）橢圓C上一點，△MOF₁的面積為
∴，∴x=1，∴M（1，4）
代入橢圓C的方程，可得
∴a⁴-8a²-9=0
∴a²=9
∴橢圓C的方程為；
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l存在，設(shè)直線方程為y=4x+m，代入橢圓方程，消去y，可得18x²+8mx+m²-18=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=，
因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點，所以
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+16x₁x₂+4m（x₁+x₂）+m²=0
∴17×-4m×+m²=0
∴
此時△=64m²-72（m²-18）＞0
∴直線方程為y=4x．
分析：（1）根據(jù)橢圓C的焦點為F₁（0，3），可得橢圓C的方程為，利用M（x，4）（x＞0）橢圓C上一點，△MOF₁的面積為，求出M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，即可確定橢圓C的方程；
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l存在，設(shè)直線方程代入橢圓方程，消去y，可得一元二次方程，利用韋達定理，結(jié)合以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點，，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，確定橢圓方程，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．