Question

12．命題p：關(guān)于x的不等式x²+2ax+4＞0對(duì)一切x∈R恒成立，q：函數(shù)f（x）=（3-2a）^x是增函數(shù)．若p∨q為真，p∧q為假．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由p：關(guān)于x的不等式x²+2ax+4＞0對(duì)一切x∈R恒成立，q：函數(shù)f（x）=（3-2a）^x是增函數(shù)分別列示求出a的范圍，再由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假，分類求出a的范圍，取并集得答案．

解答 解：設(shè)g（x）=x²+2ax+4，由于關(guān)于x的不等式x²+2ax+4＞0對(duì)一切x∈R恒成立，
∴函數(shù)g（x）的圖象開(kāi)口向上且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
故△=4a²-16＜0，∴-2＜a＜2．
又∵函數(shù)f（x）=（3-2a）^x是增函數(shù)，
∴3-2a＞1，得a＜1．
又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假．
（1）若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a≥1}\end{array}\right.$，得1≤a＜2；
（2）若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥2}\\{a＜1}\end{array}\right.$，得a≤-2．
綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為1≤a＜2，或a≤-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合命題的真假判斷與應(yīng)用，根據(jù)不等式的性質(zhì)分別求出命題p，q真假時(shí)a的范圍是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．