Question

【題目】如圖，半圓的直徑，為圓心，，為半圓上的點(diǎn).

（Ⅰ）請(qǐng)你為點(diǎn)確定位置,使的周長(zhǎng)最大，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）已知，設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，

（ⅰ）四邊形的周長(zhǎng)最大，最大值是多少?

（ⅱ）四邊形的面積最大，最大值是多少?

Answer 1

【答案】（Ⅰ）點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析； （Ⅱ）（ⅰ）時(shí)，最大值（ⅱ）時(shí)，最大面積是

【解析】

(Ⅰ)設(shè),,,法一:依題意有,再利用基本不等式求得,從而得出結(jié)論;法二:由點(diǎn)在半圓上,是直徑,利用三角函數(shù)求出,,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)論;

(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函數(shù)值表示四邊形的周長(zhǎng),再求的最大值;(ⅱ)利用三角函數(shù)值表示出四邊形的面積,再結(jié)合基本不等式求的最大值.

(Ⅰ)點(diǎn)在半圓中點(diǎn)位置時(shí),周長(zhǎng)最大.理由如下:

法一:因?yàn)辄c(diǎn)在半圓上,且是圓的直徑,

所以,即是直角三角形,

設(shè),,,顯然a,b,c均為正數(shù),則,

因?yàn)?/span>,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

所以,

所以,

所以的周長(zhǎng)為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

即為等腰直角三角形時(shí),周長(zhǎng)取得最大值,此時(shí)點(diǎn)是半圓的中點(diǎn).

法二:因?yàn)辄c(diǎn)在半圓上,且是圓的直徑,

所以,即是直角三角形,

設(shè),,,,

則,,

,

因?yàn)?/span>,所以,

所以當(dāng),即時(shí),

周長(zhǎng)取得最大值,此時(shí)點(diǎn)是半圓的中點(diǎn).

(Ⅱ)(ⅰ)因?yàn)?/span>,所以,

所以,,

設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為,

則

,

顯然,所以當(dāng)時(shí),取得最大值;

(ⅱ)過(guò)作于,

設(shè)四邊形的面積為,四邊形的面積為,的面積為,則

,

所以

;

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,

顯然,所以,所以此時(shí),

所以當(dāng)時(shí),,即四邊形的最大面積是.