Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，，E是BC中點，點Q在側(cè)棱PC上．

（Ⅰ）求證：AD⊥PB；

（Ⅱ）若Q是PC中點，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；

（Ⅲ）是否存在Q，使PA∥平面DEQ？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ） （Ⅲ）存在，

【解析】

（Ⅰ）取中點，連接，，．推導(dǎo)出．，．從而平面．由此能證明．

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法能求出二面角的余弦值．

（Ⅲ）設(shè)，，推導(dǎo)出，利用向量法能求出當(dāng)時，平面．

證明：（Ⅰ）取中點，連接，，．

因為，所以．

因為菱形中，，所以．

所以．

因為，且平面，平面，

所以平面．

因為平面

所以．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，

因為側(cè)面底面，且平面底面，面

所以底面．

以為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

則，

因為為中點，所以．

所以，，

設(shè)平面的法向量為．

即

所以平面的法向量為．

因為，

設(shè)平面的法向量為，

則，即．

令，則，即．

所以．

由圖可知，二面角為銳角，所以余弦值為．

（Ⅲ）設(shè)

由（Ⅱ）可知．

設(shè)，則，

又因為，

所以，即．

所以在平面中，，

所以平面的法向量為，

又因為平面，所以，

即，解得．

所以當(dāng)時，平面．