Question

【題目】已知圓M： 和點(diǎn) ，動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)N且與圓M相切，圓心P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）點(diǎn)A是曲線E與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B，C在曲線E上，若直線AB，AC的斜率分別是k1 ， k2 ， 滿(mǎn)足k1k2=9，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓M： 的圓心為M（0，﹣ ），半徑為2 ，

點(diǎn)N（0， ），在圓M內(nèi)，因?yàn)閯?dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)N且與圓M相切，

所以動(dòng)圓P與圓M內(nèi)切．設(shè)動(dòng)圓P半徑為r，則2 =|PM|．

因?yàn)閯?dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，所以r=|PN|，|PM|+|PN|= ＞|MN|，

所以曲線E是M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 的橢圓．

由a= ，c= ，得b2=3﹣2=1，

所以曲線E的方程為：

（2）解：直線BC斜率為0時(shí)，不合題意；

設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），直線BC：x=ty+m，

聯(lián)立方程組 ，得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3=0，

y1+y2= ，y1y2= ，

又k1k2=9，知y1y2=9（x1﹣1）（x2﹣1）=9（ty1﹣1+m）（ty2﹣1+m）

=9t2y1y2+9（m﹣1）t（y1+y2）+9（m﹣1）2．

且m≠1，y1+y2= ，y1y2= ，代入化簡(jiǎn)得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）=0，

解得m=2，故直線BC過(guò)定點(diǎn)（2，0），

由△＞0，解得t2＞1，

S△ABC= |y2﹣y1|= = = ，

（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）．

綜上，△ABC面積的最大值為：

【解析】（1）先根據(jù)圓M的一般方程求得其圓心坐標(biāo)及半徑，再結(jié)合點(diǎn)N的位置判斷圓M與圓P是內(nèi)切還是外切，因此可列出兩個(gè)圓的半徑與其圓心距的關(guān)系，從而得到|PM|+|PN|=＞|MN|，有橢圓定義可得曲線E的方程；（2）先根據(jù)所給條件判斷直線BC的特征，再利用三角形ABC的特點(diǎn)列出面積公式并求其取值范圍進(jìn)而求得三角形面積的最大值.