Question

11．若f（x）=x²，?t∈R，對于?x∈[2，m]，都有f（x+t）≤2x成立，則m的最大值是8．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=f（x+t）-2x=x²+2（t-1）x+t²，由已知可得?x∈[2，m]，g（x）≤0恒成立，即g（2）≤0且g（m）≤0，先求出t的范圍，進(jìn)而可得m的取值范圍．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x+t）-2x=x²+2（t-1）x+t²，
由題值?x∈[2，m]，f（x+t）≤2x恒成立，
即?x∈[2，m]，g（x）≤0恒成立，
即g（2）≤0且g（m）≤0，
即t²+4t≤0，m²+2（t-1）m+t²≤0，
則t∈[-4，0]，
當(dāng)t=0時，得到m²-2m≤0，解得0≤m≤2；
當(dāng)t=-4時，得到m²-5m+4≤0，解得2≤m≤8
綜上得到：m∈[2，8]，
∴m的最大值是8，
故答案為：8．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會進(jìn)行函數(shù)恒成立與不等式之間的轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．